Question

今年我國(guó)多個(gè)省市遭受嚴(yán)重干旱，受旱災(zāi)的影響，4月份，我市某蔬菜價(jià)格呈上升趨勢(shì)，其前四周每周的平均銷售價(jià)格變化如下表：

周數(shù)x	1	2	3	4
價(jià)格y（元/kg）	2	2.2	2.4	2.6

進(jìn)入5月，由于本地蔬菜的上市，此種蔬菜的平均銷售價(jià)格y（元/千克）從5月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克，且y與周數(shù)x的變化情況滿足二次函數(shù)y=-

1

20

x²+bx+c．
（1）請(qǐng)觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)直接寫出4月份y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出5月份y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若4月份此種蔬菜的進(jìn)價(jià)m（元/千克）與周數(shù)x所滿足的函數(shù)關(guān)系為m=

1

4

x+1.2，5月份此種蔬菜的進(jìn)價(jià)m（元/千克）與周數(shù)x所滿足的函數(shù)關(guān)系為m=-

1

5

x+2．試問4月份與5月份分別在哪一周銷售此種蔬菜一千克的利潤(rùn)最大？且最大利潤(rùn)分別是多少？
（3）若5月份的第2周共銷售100噸此種蔬菜．從5月份的第3周起，由于受暴雨的影響，此種蔬菜的可供銷量將在第2周銷量的基礎(chǔ)上每周減少a%，政府為穩(wěn)定蔬菜價(jià)格，從外地調(diào)運(yùn)2噸此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜的銷售價(jià)格比第2周僅上漲0.8a%．若在這一舉措下，此種蔬菜在第3周的總銷售額與第2周剛好持平，請(qǐng)你參考以下數(shù)據(jù)，通過計(jì)算估算出a的整數(shù)值．
（參考數(shù)據(jù)：37²=1369，38²=1444，39²=1521，40²=1600，41²=1681）

Answer 1

分析：（1）從表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可確定是一次函數(shù)關(guān)系式；把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分別代入y=-

1

20

x2+bx+c可求b、c的值，確定二次函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)一次函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍，求最大利潤(rùn)；
（3）根據(jù)增長(zhǎng)率的公式，列出方程求解即可．

解答：解：（1）4月份y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=0.2x+1.8
把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分別代入y=-

1

20

x2+bx+c得

- 1 20 +b+c=2.8 - 1 20 ×4+2b+c=2.4

解得：

b=-0.25 c=3.1

，
∴5月份y與x滿足的函數(shù)關(guān)系式為y=-0.05x²-0.25x+3.1；

（2）設(shè)4月份第x周銷售此種蔬菜一千克的利潤(rùn)為W₁元，5月份第x周銷售此種蔬菜一千克的利潤(rùn)為W₂元．則：
W₁=（0.2x+1.8）-（

1

4

x+1.2）=-0.05x+0.6
∵-0.05＜0，∴W₁隨x的增大而減少
∴當(dāng)x=1時(shí)，W_1最大=-0.05+0.6=0.55
W₂=（-0.05x²-0.25x+3.1）-（-

1

5

x+2）=-0.05x²-0.05x+1.1
∵對(duì)稱軸為x=-

-0.05

2×(-0.05)

=-0.5，且-0.05＜0，
∴當(dāng)x=1時(shí)，W_2最大=1
∴4月份銷售此種蔬菜一千克的利潤(rùn)在第1周最大，最大利潤(rùn)為0.55元，
5月份銷售此種蔬菜一千克的利潤(rùn)在第1周最大，最大利潤(rùn)為1元．

（3）由題意知：[100000（1-a%）+2000]×2.4（1+0.8a%）=2.4×100000，
整理，得a²+23a-250=0，解得a=

-23± 1529

2

∵39²=1521，40²=1600，而1529更接近1521，∴取

1529

≈39
∴a≈-31（舍去）或a≈8．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問題．