Question

如圖， 已知等邊三角形ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊AB，AC，BC的中點(diǎn)，M為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，△DMN為等邊三角形（點(diǎn)M的位置改變時(shí)， △DMN也隨之整體移動(dòng)） ．

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，請(qǐng)你判斷EN與MF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點(diǎn)F是否在直線NE上？都請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由；
（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)M在BC上時(shí)，其它條件不變，（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立，請(qǐng)利用圖②證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；
（3）若點(diǎn)M在點(diǎn)C右側(cè)時(shí)，請(qǐng)你在圖③中畫出相應(yīng)的圖形，并判斷（1）的結(jié)論中EN與MF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立?若成立?請(qǐng)直接寫出結(jié)論，不必證明或說明理由．

Answer 1

（1）EN與MF相等 （或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上
（2）成立
（3）略解析:

（1）判斷：EN與MF相等 （或EN=MF），點(diǎn)F在直線NE上，   3分
（說明：答對(duì)一個(gè)給2分）
（2）成立． 4分
證明：
法一：連結(jié)DE，DF．     5分
∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，
∴DE，DF，EF為三角形的中位線．∴DE=DF=EF，∠FDE=60°．
又∠MDF+∠FDN=60°， ∠NDE+∠FDN=60°，
∴∠MDF=∠NDE．     7分
在△DMF和△DNE中，DF=DE，DM=DN， ∠MDF=∠NDE，
∴△DMF≌△DNE．    8分
∴MF=NE．      　  9分
法二：
延長(zhǎng)EN，則EN過點(diǎn)F．      5分
∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=AC=BC．
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)， ∴EF=DF=BF．  
∵∠BDM+∠MDF=60°， ∠FDN+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN． 7分
又∵DM=DN， ∠ABM=∠DFN=60°，
∴△DBM≌△DFN．    8分
∴BM=FN．
∵BF=EF， ∴MF=EN．    9分
法三：
連結(jié)DF，NF．    5分
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=AC．
又∵D，E，F(xiàn)是三邊的中點(diǎn)，
∴DF為三角形的中位線，∴DF=AC=AB=DB．
又∠BDM+∠MDF=60°， ∠NDF+∠MDF=60°，
∴∠BDM=∠FDN．    7分
在△DBM和△DFN中，DF=DB，
DM=DN， ∠BDM=∠NDF，∴△DBM≌△DFN．
∴∠B=∠DFN=60°．  8分
又∵△DEF是△ABC各邊中點(diǎn)所構(gòu)成的三角形，
∴∠DFE=60°．
∴可得點(diǎn)N在EF上，
∴MF=EN．          9分
（3）畫出圖形（連出線段NE），    11分

MF與EN相等的結(jié)論仍然成立（或MF=NE成立）． 12分