Question

已知一次函數(shù)y=-

3

x+m（m為實(shí)數(shù)）的圖象為直線l，l分別交x，y于A，B兩點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓的半徑為1．
（1）求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；
（2）設(shè)點(diǎn)O到直線l的距離為d，試用含m的代數(shù)式表示d，并求出當(dāng)直線1與⊙O相切時(shí)，m的值；
（3）當(dāng)⊙O被直線l所截得的弦長(zhǎng)等于1時(shí)，求m的值及直線l與⊙O的交點(diǎn)坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）對(duì)一次函數(shù)y=-

3

x+m，令y=0求得A點(diǎn)坐標(biāo)，x=0時(shí)求得B點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）按照等量關(guān)系“

1

2

×OA×OB=

1

2

×AB×d”得出d的值，當(dāng)d=1時(shí)，直線1與⊙O相切；
（3）由圓和直線的幾何關(guān)系以及前兩問得出的信息求得m值及交點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=m；當(dāng)y=0時(shí)，x=

3

3

m
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

3

m，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m）．

（2）結(jié)合圖象可知：
OA=

3

3

|m|，OB=|m|，
在Rt△OAB中，無論m（m≠0）取何值，
都有tan∠BAO=

OB

OA

=

3

，∴∠BAO=60°
當(dāng)m=0時(shí)，也可推得直線1與x軸成60°角，又d是Rt△OAB斜邊上的高，
∴d=

1

2

|m|，
∵⊙O的半徑等于1，∴

1

2

|m|=1，
∴m=±2．

（3）由（2）推出∠BAO=60°．又l被⊙O所截得的弦長(zhǎng)等于半徑1，結(jié)合圓的性質(zhì)可知1過⊙O與x軸的交點(diǎn)（1，0）或（-1，0）
把（1，0）或（-1，0）代入y=-

3

x+m中，
可求得m=±

3

從而得1與⊙O的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（

1

2

，

3

2

）或（-

1

2

，-

3

2

）

點(diǎn)評(píng)：此題考查的是一次函數(shù)坐標(biāo)的求法、點(diǎn)到直線的距離以及圓和直線的幾何關(guān)系．