Question

（2012•開平區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=8cm，以點(diǎn)P為圓心，以3cm長(zhǎng)為半徑的圓在直線BC上滑動(dòng)．
（1）如圖，連接PA，若PA=PB時(shí)，請(qǐng)你判斷⊙P與直線AC的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）當(dāng)⊙P與直線AB的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形時(shí)，求PC的長(zhǎng)；
（3）設(shè)PC=x，請(qǐng)你直接寫出⊙P與直線AB相交時(shí)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ACP中，利用勾股定理即可得到一個(gè)關(guān)于PC的方程，解方程即可求解；
（2）分圓心P在線段BC上，和圓心P在線段CB的延長(zhǎng)線上，兩種情況進(jìn)行討論，設(shè)⊙P交AB于點(diǎn)E、F，過點(diǎn)P作PH⊥EF，垂足為H，由△BHP∽△BCA，可以得到對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可求得；
（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求得當(dāng)直線與圓相交時(shí)x的值，根據(jù)直線與圓相交時(shí)，P到直線AB的距離小于半徑即可確定．

解答：解：（1）在Rt△ACP中，
∵AC=4cm，BC=8cm，PA=PB
∴PC²+AC²=PA²
即：PC²+16=（8-PC）²…（1分）
解得：PC=3
∴⊙P與直線AC相切…（2分）

（2）分兩種情況討論：
①當(dāng)圓心P在線段BC上，設(shè)⊙P交AB于點(diǎn)E、F
過點(diǎn)P作PH⊥EF，垂足為H，…（3分）
由△BHP∽△BCA得…（4分）

PH

AC

=

BP

AB

把AC=4，AB=4

5

，PH=

3

2

3

代入比例式得：PB=

3

2

15

…（5分）
∴PC=8-

3

2

15

…（6分）
②當(dāng)圓心P在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)：
同理可得：PB=

3

2

15

…（7分）
∴OP=8+

3

2

15

…（8分）
∴當(dāng)PC=8-

3

2

15

或8+

3

2

15

時(shí)，以⊙P與直線AB的兩個(gè)交點(diǎn)和圓心P為頂點(diǎn)的三角形是正三角形．

（3）⊙P與直線AB相交時(shí)x的取值范圍為：8-3

5

＜x＜8+3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解△BHP∽△BCA是關(guān)鍵．