Question

某校甲、乙、丙三個植樹小組分別到A，B，C三個位置植樹；A，B，C在同一直線上，且B在A，C之間，其中A，B相距300米，B，C相距400米，甲組有20人，乙組有40人，丙組有在A，C之間設一個發(fā)放樹苗點，每人領一次樹苗，現(xiàn)有兩個建點方案：
方案一：讓所有學生到發(fā)放樹苗點距離總和最��；
方案二：讓甲組與丙組的所有學生到發(fā)放樹苗點距離的和等于乙組所有學生到發(fā)放樹苗點距離的和．
（1）若按方案一設點，發(fā)放樹苗點應放在距離A多遠的位置？
（2）若按方案二設點，發(fā)放樹苗點應設在距離A多遠的位置？
（3）在（2）的情況下，若甲小組減少人數(shù)，則發(fā)放樹苗離B處越來越遠還是越來越近？請說明理由．

Answer 1

解：（1）設發(fā)放樹苗點離A處x（0≤x≤700）米，所有學生到發(fā)放樹苗點的距離的和為y米，
則：①當0≤x≤300時，有y=20x+40（300-x）+30（700-x）=-50x+33000，
②當300＜x≤700時，有y=20x+40（x-300）+30（700-x）=30x+9000，
①中x=300時，y有最小值18000，
②中y＞18000，
∴按方案①設點，發(fā)放樹苗點應設在距離A處300米處，即B處．

（2）設發(fā)放樹苗點距離A處x（0≤x≤700）米，
則：①當0≤x≤300時，有：20x+30（700-x）=40（300-x），
解得x=-300（不合題意，舍去），
②當300＜x≤700時，有：20x+30（700-x）=40（x-300），
解得：x=660，
∴按方案二設點，發(fā)放樹苗點應設在距離A處660米．

（3）設甲小組減小a（a＜20）人，
由（2）得：（20-a）x+30（700-x）=40（x-300）（300＜x≤700），
解得：，
又∵，且a越大，x越小
∴若甲小組減少人數(shù)則發(fā)放樹苗點離B處越來越近．
分析：（1）設發(fā)放樹苗點離A處x（0≤x≤700）米，所有學生到發(fā)放樹苗點的距離的和為y米，然后將x進行分段處理，分別得出最小值，從而可得出答案．
（2）設發(fā)放樹苗點距離A處x（0≤x≤700）米，根據(jù)甲組與丙組的所有學生到發(fā)放樹苗點距離的和等于乙組所有學生到發(fā)放樹苗點距離的和可列出方程，解出符合條件的解即可．
（3）設甲小組減小a（a＜20）人，根據(jù)（2）的條件可列出方程，解出x的表達式即可作出說明．
點評：本題考查一次函數(shù)的應用，有一定的難度，解答此類題目的方法是根據(jù)題意所述的等價關系列出函數(shù)解析式，然后分段處理函數(shù)，得出符合題意的結(jié)果．