Question

某校甲、乙、丙三個(gè)植樹小組分別到A，B，C三個(gè)位置植樹；A，B，C在同一直線上，且B在A，C之間，其中A，B相距300米，B，C相距400米，甲組有20人，乙組有40人，丙組有在A，C之間設(shè)一個(gè)發(fā)放樹苗點(diǎn)，每人領(lǐng)一次樹苗，現(xiàn)有兩個(gè)建點(diǎn)方案：
方案一：讓所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)距離總和最小；
方案二：讓甲組與丙組的所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)距離的和等于乙組所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)距離的和．
（1）若按方案一設(shè)點(diǎn)，發(fā)放樹苗點(diǎn)應(yīng)放在距離A多遠(yuǎn)的位置？
（2）若按方案二設(shè)點(diǎn)，發(fā)放樹苗點(diǎn)應(yīng)設(shè)在距離A多遠(yuǎn)的位置？
（3）在（2）的情況下，若甲小組減少人數(shù)，則發(fā)放樹苗離B處越來越遠(yuǎn)還是越來越近？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)發(fā)放樹苗點(diǎn)離A處x（0≤x≤700）米，所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)的距離的和為y米，然后將x進(jìn)行分段處理，分別得出最小值，從而可得出答案．
（2）設(shè)發(fā)放樹苗點(diǎn)距離A處x（0≤x≤700）米，根據(jù)甲組與丙組的所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)距離的和等于乙組所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)距離的和可列出方程，解出符合條件的解即可．
（3）設(shè)甲小組減小a（a＜20）人，根據(jù)（2）的條件可列出方程，解出x的表達(dá)式即可作出說明．

解答：解：（1）設(shè)發(fā)放樹苗點(diǎn)離A處x（0≤x≤700）米，所有學(xué)生到發(fā)放樹苗點(diǎn)的距離的和為y米，
則：①當(dāng)0≤x≤300時(shí)，有y=20x+40（300-x）+30（700-x）=-50x+33000，
②當(dāng)300＜x≤700時(shí)，有y=20x+40（x-300）+30（700-x）=30x+9000，
①中x=300時(shí)，y有最小值18000，
②中y＞18000，
∴按方案①設(shè)點(diǎn)，發(fā)放樹苗點(diǎn)應(yīng)設(shè)在距離A處300米處，即B處．

（2）設(shè)發(fā)放樹苗點(diǎn)距離A處x（0≤x≤700）米，
則：①當(dāng)0≤x≤300時(shí)，有：20x+30（700-x）=40（300-x），
解得x=-300（不合題意，舍去），
②當(dāng)300＜x≤700時(shí)，有：20x+30（700-x）=40（x-300），
解得：x=660，
∴按方案二設(shè)點(diǎn)，發(fā)放樹苗點(diǎn)應(yīng)設(shè)在距離A處660米．

（3）設(shè)甲小組減小a（a＜20）人，
由（2）得：（20-a）x+30（700-x）=40（x-300）（300＜x≤700），
解得：x=

33000

50+a

，
又∵

33000

50+a

＜660，且a越大，x越小
∴若甲小組減少人數(shù)則發(fā)放樹苗點(diǎn)離B處越來越近．

點(diǎn)評(píng)：本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，有一定的難度，解答此類題目的方法是根據(jù)題意所述的等價(jià)關(guān)系列出函數(shù)解析式，然后分段處理函數(shù)，得出符合題意的結(jié)果．