Question

已知關于x的函數(shù)y=ax²+x+1（a為常數(shù)）．
（1）若函數(shù)的圖象與x軸恰好有一個交點，求a的值；
（2）若函數(shù)的圖象是與x軸恰好有一個交點的拋物線y，有一直線y經(jīng)過拋物線的頂點和（0，-1），求y₁、y₂的解析式，并求出當x取什么范圍時，y₁＞y₂．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸恰好有一個交點；當a≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，若與x軸有一個交點，則△=0，據(jù)此，解出a的值即可；
（2）根據(jù)（1）中結果，求出二次函數(shù)解析式，從而求出其頂點坐標，然后根據(jù)待定系數(shù)法求出直線解析式，然后即可求出y₁＞y₂時x的取值范圍．

解答：解：（1）當a=0時，函數(shù)為一次函數(shù)，與x軸恰好有一個交點；
當a≠0時，圖象與x軸恰好有一個交點，則△=0，
即1-4a=0，解得a=

1

4

；
故a=0或者a=

1

4

．

（2）根據(jù)（1）中a的值，二次函數(shù)解析式為y₁=

1

4

x²+x+1；
配方得，y=

1

4

（x+2）²，
其頂點坐標為（-2，0）．
設一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
將（0，-1）和（-2，0）分別代入解析式得，

b=-1 -2k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b=-1

，故函數(shù)解析式為y₂=-

1

2

x-1．

（3）將兩函數(shù)組成方程組得，

1 4 x2+x+1=y - 1 2 x-1=y

，
解得

x=-4 y=1

，

x=-2 y=0

，
可見x小于-4或x大于-2時，y₁＞y₂．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，熟悉根的判別式及待定系數(shù)法以及函數(shù)與方程的關系是解答此題的關鍵．