Question

如圖，拋物線經(jīng)過△ABC的三個頂點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)C在x軸的正半軸上．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）點(diǎn)E為線段OC上一動點(diǎn)，以O(shè)E為邊在第一象限內(nèi)作正方形OEFG，當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在線段AC上時，求線段OE的長；

（3）將（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，記平移中的正方形OEFG為正方形DEFG，當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)C重合時停止運(yùn)動．設(shè)平移的距離為t，正方形DEFG的邊EF與AC交于點(diǎn)M，DG所在的直線與AC交于點(diǎn)N，連接DM，是否存在這樣的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；

（4）在上述平移過程中，當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，請直接寫出重疊部分的面積S與平移距離t的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；并求出當(dāng)t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

 

 

Answer 1

【答案】

（1）。C（6，0）。

（2）OE=2。

（3）存在滿足條件的t．理由見解析

（4）當(dāng)t=時，S取得最大值，最大值為1。

【解析】

試題分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，令y=0解方程，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。

（2）如答圖1，由△CEF∽△COA，根據(jù)比例式列方程求出OE的長度。

（3）如答圖2，若△DMN是等腰三角形，可能有三種情形，需要分類討論。

（4）當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖3，由S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK求出S關(guān)于t的表達(dá)式，然后由二次函數(shù)的性質(zhì)求出其最值。

解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（0，3），B（2，3），

∴，解得：。

∴拋物線的解析式為：。

令y=0，即，解得x=6或x=﹣4。

∵點(diǎn)C位于x軸正半軸上，∴C（6，0）。

（2）當(dāng)正方形的頂點(diǎn)F恰好落在線段AC上時，如答圖所示：

設(shè)OE=x，則EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．

∵EF∥OA，∴△CEF∽△COA。

∴，即。

解得x=2．∴OE=2。

（3）存在滿足條件的t．理由如下：

如答圖，

易證△CEM∽△COA，

∴，即，得。

過點(diǎn)M作MH⊥DN于點(diǎn)H，

則DH=ME=，MH=DE=2。

易證△MNH∽△COA，∴，即，得NH=1。

∴DN=DH+HN=。

在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=。

當(dāng)△DMN是等腰三角形時：

①若DN=MN，則=，解得t=。

②若DM=MN，則DM²=MN²，即2²+（）²=（）²，解得t=2或t=6（不合題意，舍去）。

③若DM=DN，則DM²=DN²，即2²+（）²=（）²，解得t=1。

綜上所述，當(dāng)t=1、2或時，△DMN是等腰三角形。

（4）當(dāng)正方形DEFG與△ABC的重疊部分為五邊形時，如答圖，

設(shè)EF、DG分別與AC交于點(diǎn)M、N，

由（3）可知：ME=，DN=．

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，

將點(diǎn)B（2，3）、C（6，0）代入得：

，解得。

∴直線BC的解析式為。

設(shè)直線BC與EF交于點(diǎn)K，

∵x_K=t+2，∴。

∴。

設(shè)直線BC與GF交于點(diǎn)J，

∵yJ=2，∴2= ，得。

∴FJ=x_F﹣x_J=t+2﹣=t﹣。

∴S=S_{正方形DEFG}﹣S_梯形MEDN﹣S_△FJK=DE²﹣（ME+DN）•DE﹣FK•FJ

=2²﹣ [（2﹣t）+（3﹣t）]×2﹣（t﹣1）（t﹣）．

過點(diǎn)G作GH⊥y軸于點(diǎn)H，交AC于點(diǎn)I，則HI=2，HJ=，

∴t的取值范圍是：2＜t＜。

∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S（2＜t＜）。

S，

∵＜0，且2＜＜，∴當(dāng)t=時，S取得最大值，最大值為1。