Question

如圖：拋物線經(jīng)過A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三點(diǎn)，
（1）求拋物線的解析式；
（2）求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及最值；
（3）已知AD=AB（D在線段AC上），有一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AC以每秒1個(gè)單位長度的速度移動(dòng)；同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從點(diǎn)B沿線段BC移動(dòng)，經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段PQ被BD垂直平分，求t的值．

Answer 1

分析：（1）已知拋物線圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求出該拋物線的解析式；
（2）將（1）題所得拋物線的解析式，化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及函數(shù)的最值；
（3）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，易求得AD=AB=5，則CD=AC-AD=2，連接DQ，由于BD垂直平分PQ，那么DP=DQ，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)知：∠PDB=∠QDB=∠ABD，即AB∥DQ，此時(shí)△CDQ∽△CAB，利用相似三角形得到的比例線段即可求得DQ、PD的長，從而求得AP的值，進(jìn)而可求得t的值．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-4），則有：
4=a（0+3）（0-4），a=-

1

3

；
故拋物線的解析式為：y=-

1

3

（x+3）（x-4）=-

1

3

x²+

1

3

x+4；

（2）由（1）知：y=-

1

3

x²+

1

3

x+4=-

1

3

（x-

1

2

）²+

49

12

，
故拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（

1

2

，

49

12

），最大值為

49

12

；

（3）易知OA=3，OB=OC=4；
則AB=5，AC=7，CD=2；
連接DQ，由于BD垂直平分PQ，則DP=DQ，得：
∠PDB=∠QDB，
而AD=AB，得：∠ABD=∠ADB，
故∠QDB=∠ABD，
得QD∥AB；
∴△CDQ∽△CAB，則有：

CD

CA

=

DQ

AB

，

2

7

=

DQ

5

，
∴PD=DQ=

10

7

，AP=AD-PD=5-

10

7

=

25

7

，
故t=

25

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的求法、線段垂直平分線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)，難度適中．