Question

如圖，等邊△ABC的邊長是10，AD是BC邊上的高，在AD上取點O，以O(shè)為圓心作圓，與AB交于G，與AD交于H，過B和C分別作圓的切線，切點分別為E、F．

（1）求證：BE=CF；
（2）若⊙O的半徑是5（

3

-1），求點H到直線OB的距離；
（3）若點Q是⊙O上任意一點，直接寫出△AGQ面積最大時∠AOQ的值．

Answer 1

考點：圓的綜合題,三角形的外角性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理,切線的性質(zhì),特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）連接OE、OF，OB，OC，如圖1．要證BE=CF，只要證到Rt△OEB≌Rt△OFC即可．
（2）過點H作HN⊥OB于N，如圖2．在Rt△ONH中，OH已知，要求HN，只需求出sin∠NOH，易證BD=OD，則∠BOD=45°，問題得以解決．
（3）顯然，當點Q在優(yōu)弧

AEG

上，且QO⊥AG時，△AGQ面積最大．延長QO交AG于R，如圖3，利用三角形的外角性質(zhì)即可解決問題．

解答：解：（1）證明：連接OE、OF，OB，OC，如圖1．

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴BD=CD．
∴OB=OC．
∵BE、CF與⊙O分別相切于點E、F，
∴OE⊥BE，OF⊥CF．
∴∠OEB=∠OFC=90°．
在Rt△OEB和Rt△OFC中，

OE=OF OB=OC

．
∴Rt△OEB≌Rt△OFC（HL）．
∴BE=CF．

（2）過點H作HN⊥OB于N，如圖2．

∵AB=10，BD=

1

2

BC=5，
∴AD=5

3

．
∵OA=5（

3

-1），
∴OD=AD-OA=5．
∴BD=OD=5．
∴∠BOD=∠OBD=45°．
在Rt△ONH中，
HN=OH•sin∠NOH=5（

3

-1）×

2

2

=

5 6 -5 2

2

．
∴點H到直線OB的距離為

5 6 -5 2

2

．

（3）當點Q在優(yōu)弧

AEG

上，且QO⊥AG時，△AGQ面積最大．
延長QO交AG于R，如圖3．

∵△ABC是等邊三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=30°．
∵QO⊥AG，∴∠ARQ=90°．
∴∠AOG=∠ARO+∠RAO=90°+30°=120°．
∴當△AGQ面積最大時，∠AOQ的值為120°．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、勾股定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)等知識，有一定的綜合性．