Question

在矩形OABC中，OA=4，AB=2，以點O為坐標(biāo)原點，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系．將矩形OABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)至矩形ODEF．
（1）如圖1，當(dāng)∠AOD=60°時，△OCF的形狀是

 

；
（2）如圖2，當(dāng)點E落在y軸的正半軸上，試求CE的長度和點D的坐標(biāo)；
（3）如圖3，在圖2的基礎(chǔ)上再沿y軸的負(fù)半軸向下平移，平移速度是每秒1個單位長度．
①求經(jīng)過幾秒，直線DE經(jīng)過點A；
②設(shè)兩矩形重疊部分的面積為S，運動時間為t，寫出重疊部分面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式

Answer 1

分析：（1）利用有一個角是60°的三角形是等邊三角形即可作出判定；
（2）根據(jù)OA=4，OC=2，BC=OA，因而就可求得BC=2CD，則可以求出∠BCD=60°，則旋轉(zhuǎn)角即可求得；作DM⊥CB于點M，F(xiàn)N⊥CB于點N，根據(jù)三角函數(shù)即可求得：DM，CM的長，從而求得D的坐標(biāo)，在Rt△CFN中，根據(jù)三角函數(shù)即可求得CN，F(xiàn)N的長，即得F的坐標(biāo)；
（3）①HB即為直線EF經(jīng)過點B時移動的距離．在Rt△C′DH中利用三角函數(shù)即可求得DH，從而得到HE，再在△HEB中，利用三角函數(shù)求得BH，即可求得時間．
②重合的部分可能是四邊形，也可能是三角形，應(yīng)分兩種情況進行討論．

解答：解（1）等邊三角形…（1分）

（2）∵OE=

22+42

=2

5

，OC=2，
∴CE=2

5

-2…（2分）
過點D作DG⊥OE
∵DG•OE=DE•OD
∴DG=

4 5

5

OG=

8 5

5

∴D（

4 5

5

，

8 5

5

）…（3分）

（3）①設(shè)直線DE所在直線的解析式為y=kx+b，
∵D（

4 5

5

，

8 5

5

），E（0，2

5

）
∴

4 5 5 k+b= 8 5 5 b=2 5

∴DE所在的直線為y=-

1

2

x+2

5

∴平移后DE所在的直線為y=-

1

2

x+b，把A（4，0）代入得b=2∴平移了2

5

-2  （2

5

-2）÷1=2

5

-2（秒）…（5分）
②s=t+1                          （0≤t≤

8 5

5

-2）…（6分）
S=-

5

4

t²+（4

5

-4）t-20+8

5

      （

8 5

5

-2＜t≤2

5

-2）…（7分）
S=4-

1

4

t²                       （2

5

-2＜t≤

8 5

5

）…（8分）
S=t²-4

5

t+20                    （

8 5

5

＜t≤2

5

） …（9分）
0                              （2

5

＜t） …（10分）

點評：本題是三角函數(shù)與圖形的旋轉(zhuǎn)相結(jié)合的題目，注意旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．得到相等關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．