Question

在直角坐標(biāo)系XOY中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4，-

3

)，且與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離為6．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）在x軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？如果存在，請求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（4，-

3

），且與x軸的兩個交點(diǎn)間的距離為6，
∴對稱軸x=4，A（1，0），B（7，0），
設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-7），將C點(diǎn)坐標(biāo)代入可得a=

3

9

，
∴所求解析式為y=

3

9

x²-

8 3

9

x+

7 3

9

；

（2）在x軸上方的拋物線上存在點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，
因?yàn)椤鰽BC為等腰三角形，
∴當(dāng)AB=BQ，
∵AB=6，
∴BQ=6，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則AD=3，CD=

3

∴∠BAC=∠ABC=30°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ABQ=120°，過點(diǎn)Q作QE⊥x軸于E，則∠QBE=60°，
∴QE=BQsin60°=6×

3

2

=3

3

，
∴BE=3，
∴E（10，0），Q(10，3

3

)．
當(dāng)x=10時，y=

3

9

×10²-

8 3

9

×10+

7 3

9

=3

3

；
∴點(diǎn)Q在拋物線上，由拋物線的對稱性，
還存在一點(diǎn)Q′(-2，3

3

)，使△ABQ′∽△CAB故存在點(diǎn)Q(10，3

3

)或(-2，3

3

)．