在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=kx(k為常數(shù))與拋物線y=
1
3
x2-2交于A,B兩點(diǎn),且A點(diǎn)在y軸左側(cè),P點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-4),連接PA,PB.有以下說(shuō)法:
①PO2=PA•PB;
②當(dāng)k>0時(shí),(PA+AO)(PB-BO)的值隨k的增大而增大;
③當(dāng)k=-
3
3
時(shí),BP2=BO•BA;
④△PAB面積的最小值為4
6

其中正確的是______.(寫(xiě)出所有正確說(shuō)法的序號(hào))
設(shè)A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0.
聯(lián)立y=
1
3
x2-2與y=kx得:
1
3
x2-2=kx,即x2-3kx-6=0,
∴m+n=3k,mn=-6.
設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b,將P(0,-4),A(m,km)代入得:
b=-4
ma+b=km
,解得a=
km+4
m
,b=-4,
∴y=(
km+4
m
)x-4.
令y=0,得x=
4m
km+4
,
∴直線PA與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
4m
km+4
,0).
同理可得,直線PB的解析式為y=(
kn+4
n
)x-4,直線PB與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(
4n
kn+4
,0).
4m
km+4
+
4n
kn+4
=
8kmn+16(m+n)
(km+4)(kn+4)
=
8k×(-6)+16×3k
(km+4)(kn+4)
=0,
∴直線PA、PB與x軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即直線PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
(1)說(shuō)法①錯(cuò)誤.理由如下:
如答圖1所示,∵PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′落在PB上.
連接OA′,則OA=OA′,∠POA=∠POA′.

假設(shè)結(jié)論:PO2=PA•PB成立,即PO2=PA′•PB,
PO
PA′
=
PB
PO
,
又∵∠BPO=∠BPO,
∴△POA′△PBO,
∴∠POA′=∠PBO,
∴∠AOP=∠PBO.
而∠AOP是△PBO的外角,
∴∠AOP>∠PBO,矛盾,
∴說(shuō)法①錯(cuò)誤.
(2)說(shuō)法②錯(cuò)誤.理由如下:
易知:
OB
OA
=-
n
m
,
∴OB=-
n
m
OA.
由對(duì)稱(chēng)可知,PO為△APB的角平分線,
PB
PA
=
OB
OA

∴PB=-
n
m
PA.
∴(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)[-
n
m
PA-(-
n
m
OA)]=-
n
m
(PA+AO)(PA-OA)=-
n
m
(PA2-AO2).
如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D,則OD=-km,PD=4+km.

∴PA2-AO2=(PD2+AD2)-(OD2+AD2)=PD2-OD2=(4+km)2-(-km)2=8km+16,
∵m+n=3k,∴k=
1
3
(m+n),
∴PA2-AO2=8•
1
3
(m+n)•m+16=
8
3
m2+
8
3
mn+16=
8
3
m2+
8
3
×(-6)+16=
8
3
m2
∴(PA+AO)(PB-BO)=-
n
m
(PA2-AO2)=-
n
m
8
3
m2=-
8
3
mn=-
8
3
×(-6)=16.
即:(PA+AO)(PB-BO)為定值,所以說(shuō)法②錯(cuò)誤.
(3)說(shuō)法③正確.理由如下:
當(dāng)k=-
3
3
時(shí),聯(lián)立方程組:
y=-
3
3
x
y=
1
3
x2-2
,得A(-2
3
,2),B(
3
,-1),
∴BP2=12,BO•BA=2×6=12,
∴BP2=BO•BA,故說(shuō)法③正確.
(4)說(shuō)法④正確.理由如下:
S△PAB=S△PAO+S△PBO=
1
2
OP•(-m)+
1
2
OP•n=
1
2
OP•(n-m)=2(n-m)=2
(m+n)2-4mn
=2
9k2+24
,
∴當(dāng)k=0時(shí),△PAB面積有最小值,最小值為2
24
=4
6

故說(shuō)法④正確.
綜上所述,正確的說(shuō)法是:③④.
故答案為:③④.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在直角坐標(biāo)系XOY中,二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C(4,-
3
)
,且與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為6.
(1)求二次函數(shù)解析式;
(2)在x軸上方的拋物線上,是否存在點(diǎn)Q,使得以點(diǎn)Q、A、B為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?如果存在,請(qǐng)求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

在如圖的直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0);B(0,-2),將線段AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至AC.
(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)若拋物線y=-
1
2
x2+ax+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C.
①求拋物線的解析式;
②在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)C除外)使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形?若存在,求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

有一種計(jì)算機(jī)控制的線切割機(jī)床,它可以自動(dòng)切割只有直線和拋物線組成的零件,工作時(shí)只要先確定零件上各點(diǎn)的坐標(biāo)及線段與拋物線的關(guān)系式作為程序輸入計(jì)算機(jī)即可.今有如圖所示的零件需按A?B?C?D?A的路徑切割,請(qǐng)按下表將程序編完整.
線段或拋物線起始坐標(biāo)關(guān)系式終點(diǎn)坐標(biāo)
拋物線APB
線段BC(1,0)x=1(1,-1)
線段CD(1,-1)
線段AD(1,0)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)
(1)求此拋物線的解析式.
(2)設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D,連接CD、BD,求△BCD的面積.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,梯形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在y軸、x軸的正半軸上,AB⊥OA,二次函數(shù)
y=mx2-mx+2的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn).
(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo);
(2)當(dāng)AC⊥OB時(shí),求二次函數(shù)的解析式.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,一次函數(shù)y=-
1
2
x+2
分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn),拋物線y=-x2+bx+c過(guò)A、B兩點(diǎn).
(1)求這個(gè)拋物線的解析式;
(2)作垂直x軸的直線x=t,在第一象限交直線AB于M,交這個(gè)拋物線于N.求當(dāng)t取何值時(shí),MN有最大值?最大值是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的童裝,購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是60元.根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查,在一段時(shí)間內(nèi),銷(xiāo)售單價(jià)是80元時(shí),銷(xiāo)售量是200件,而銷(xiāo)售單價(jià)每降低1元,就可多售出20件.
(1)寫(xiě)出銷(xiāo)售量y件與銷(xiāo)售單價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)寫(xiě)出銷(xiāo)售該品牌童裝獲得的利潤(rùn)w元與銷(xiāo)售單價(jià)x元之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)若童裝廠規(guī)定該品牌童裝銷(xiāo)售單價(jià)不低于76元,且商場(chǎng)要完成不少于240件的銷(xiāo)售任務(wù),則商場(chǎng)銷(xiāo)售該品牌童裝獲得的最大利潤(rùn)是多少?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖①,Rt△ABC中,∠B=90°,∠CAB=30度.它的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(10,0),頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,5
3
)
,AB=10,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C的方向勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)D(0,2)出發(fā),沿y軸正方向以相同速度運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒.
(1)求∠BAO的度數(shù).
(2)當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí),△OPQ的面積S(平方單位)與時(shí)間t(秒)之間的函數(shù)圖象為拋物線的一部分,(如圖②),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度.
(3)求(2)中面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式及面積S取最大值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
(4)如果點(diǎn)P,Q保持(2)中的速度不變,那么點(diǎn)P沿AB邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而增大;沿著B(niǎo)C邊運(yùn)動(dòng)時(shí),∠OPQ的大小隨著時(shí)間t的增大而減小,當(dāng)點(diǎn)P沿這兩邊運(yùn)動(dòng)時(shí),使∠OPQ=90°的點(diǎn)P有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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