設(shè)A(m,km),B(n,kn),其中m<0,n>0.
聯(lián)立y=
x
2-2與y=kx得:
x
2-2=kx,即x
2-3kx-6=0,
∴m+n=3k,mn=-6.
設(shè)直線PA的解析式為y=ax+b,將P(0,-4),A(m,km)代入得:
,解得a=
,b=-4,
∴y=(
)x-4.
令y=0,得x=
,
∴直線PA與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0).
同理可得,直線PB的解析式為y=(
)x-4,直線PB與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(
,0).
∵
+
=
=
8k×(-6)+16×3k |
(km+4)(kn+4) |
=0,
∴直線PA、PB與x軸的交點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),即直線PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).
(1)說(shuō)法①錯(cuò)誤.理由如下:
如答圖1所示,∵PA、PB關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng),
∴點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′落在PB上.
連接OA′,則OA=OA′,∠POA=∠POA′.
假設(shè)結(jié)論:PO
2=PA•PB成立,即PO
2=PA′•PB,
∴
=,
又∵∠BPO=∠BPO,
∴△POA′
∽△PBO,
∴∠POA′=∠PBO,
∴∠AOP=∠PBO.
而∠AOP是△PBO的外角,
∴∠AOP>∠PBO,矛盾,
∴說(shuō)法①錯(cuò)誤.
(2)說(shuō)法②錯(cuò)誤.理由如下:
易知:
=-
,
∴OB=-
OA.
由對(duì)稱(chēng)可知,PO為△APB的角平分線,
∴
=,
∴PB=-
PA.
∴(PA+AO)(PB-BO)=(PA+AO)[-
PA-(-
OA)]=-
(PA+AO)(PA-OA)=-
(PA
2-AO
2).
如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥y軸于點(diǎn)D,則OD=-km,PD=4+km.
∴PA
2-AO
2=(PD
2+AD
2)-(OD
2+AD
2)=PD
2-OD
2=(4+km)
2-(-km)
2=8km+16,
∵m+n=3k,∴k=
(m+n),
∴PA
2-AO
2=8•
(m+n)•m+16=
m
2+
mn+16=
m
2+
×(-6)+16=
m
2.
∴(PA+AO)(PB-BO)=-
(PA
2-AO
2)=-
•
m
2=-
mn=-
×(-6)=16.
即:(PA+AO)(PB-BO)為定值,所以說(shuō)法②錯(cuò)誤.
(3)說(shuō)法③正確.理由如下:
當(dāng)k=
-時(shí),聯(lián)立方程組:
,得A(
-2,2),B(
,-1),
∴BP
2=12,BO•BA=2×6=12,
∴BP
2=BO•BA,故說(shuō)法③正確.
(4)說(shuō)法④正確.理由如下:
S
△PAB=S
△PAO+S
△PBO=
OP•(-m)+
OP•n=
OP•(n-m)=2(n-m)=2
=2
,
∴當(dāng)k=0時(shí),△PAB面積有最小值,最小值為
2=
4.
故說(shuō)法④正確.
綜上所述,正確的說(shuō)法是:③④.
故答案為:③④.