Question

如圖，將矩形OABC置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（，0），C（0，2）．
（1）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B、C，求該拋物線的解析式；
（2）將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α（0°＜α＜90°），在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在（1）中的拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）如圖（2），將矩形OABC繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度θ（0°＜θ＜180°），將得到矩形OA′B′C′，設(shè)A′C′的中點(diǎn)為點(diǎn)E，連接CE，當(dāng)θ=______°時(shí)，線段CE的長(zhǎng)度最大，最大值為______．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)以及A、C點(diǎn)的坐標(biāo)確定點(diǎn)B的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法確定該拋物線的解析式．
（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D，若矩形的頂點(diǎn)恰好落在拋物線對(duì)稱軸上時(shí)，該頂點(diǎn)、O、D正好構(gòu)成一個(gè)直角三角形，由勾股定理即可確定這個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）觀察圖示可知：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸負(fù)半軸上時(shí)，CE最長(zhǎng)，找出了這個(gè)關(guān)鍵位置，解答問題就簡(jiǎn)單多了．
解答：解：（1）∵矩形OABC，A（2，0），C（0，2），∴B（2，2）．
∴拋物線的對(duì)稱軸為x=．∴b=．
∴二次函數(shù)的解析式為：y=-x²+2x+2．

（2）①當(dāng)頂點(diǎn)A落在對(duì)稱軸上時(shí)，設(shè)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A′，連接OA′，
設(shè)對(duì)稱軸x=與x軸交于點(diǎn)D，∴OD=．
∴OA′=OA=2．
在Rt△OA′D中，根據(jù)勾股定理A′D=3．
∴A′（，-3）． 
②當(dāng)頂點(diǎn)落C對(duì)稱軸上時(shí)（如圖），設(shè)點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)C′，連接OC′，
在Rt△OC′D中，根據(jù)勾股定理C′D=1．
∴C′（，1）．
③當(dāng)頂點(diǎn)落B對(duì)稱軸上時(shí)，同理①可求出點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（，-3）；


（3）如右圖，設(shè)AC、OB的交點(diǎn)為E；
在Rt△OAB中，OA=2，AB=2，∴∠BOA=30°，OE=AB=2；
在OE旋轉(zhuǎn)過程中，可將點(diǎn)E的軌跡看作是以O(shè)為圓心，以O(shè)E為半徑的圓（旋轉(zhuǎn)角度：0°～180°）；
由圖可看出，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到y(tǒng)軸負(fù)半軸上時(shí)（即點(diǎn)E′的位置），CE最長(zhǎng)；
此時(shí)，旋轉(zhuǎn)的角度：∠EOE′=∠BOA+90°=30°+90°=120°；
CE的最長(zhǎng)值：CE′=OC+OE′=2+2=4；
故填：120°，4．
點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了函數(shù)解析式的確定、矩形的性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)以及勾股定理的應(yīng)用等綜合知識(shí)；題目的難度不大，需要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．