Question

（2004•廣安）如圖，直線y=-

3

4

x+3m與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以AB為直徑的⊙M過原點(diǎn)O，垂直于x軸的直線MP與⊙M的下半圓交于點(diǎn)P．
（1）求點(diǎn)B關(guān)于直線MP對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；  
（2）若直線MP的解析式是x=6，求過P、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；  
（3）拋物線上是否存在點(diǎn)E，使∠EOP=45°？若存在，求出坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線的解析式可求出B和A點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳BAB為直徑，M是圓心所以M是AB中點(diǎn)，又因?yàn)镸P⊥OA，利用垂徑定理可得D是AO中點(diǎn)，即OD的長可求，進(jìn)而求出直線MP的解析式，從而求出點(diǎn)B關(guān)于直線MP對(duì)稱的點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，由（1）可知OP=2m=6，所以可求出B，P，C三點(diǎn)的坐標(biāo)，代入計(jì)算即可；
（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)E，使∠EOP=45°，設(shè)射線OE交圓于D，利用圓周角定理求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線OE的解析式，此解析式與拋物線的解析式聯(lián)立，解方程組即可．

解答：解：（1）∵直線與x、y軸分別交于點(diǎn)A、B，
設(shè)y=0，則-

3

4

x+3m=0，
∴x=4m，
∴A（4m，0），
∴OA=|4m|
設(shè)x=0，則y=3m，
∴B（0，3m），
∵M(jìn)P⊥OA，
∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為2m，
∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為4m，縱坐標(biāo)于B相同，
∴C（4m，3m）；

（2）直線MP的解析式是x=6，
∴2m=6，m=3，
∴A（12，0），B（0，9），C（12，9）
由勾股定理得AB=

OB2+OB2

=15，
即MP=

15

2

，
∴M（6，

9

2

），
∴P（6，-3）
設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把B，P，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入得

9=c -3=36a+6b+c 9=144a+12b+c

，
解得

a= 1 3 b=-4 c=9

．
故過P、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式是y=

1

3

x²-4x+9；

（3）假設(shè)拋物線上存在點(diǎn)E，使∠EOP=45°，延長OE交圓于D，
則∠DMP=90°，
∵M(jìn)（6，

9

2

），MD=

1

2

AB=

15

2

，
∴D（

27

2

，

9

2

）
設(shè)直線OD的解析式為y=kx，把D（

27

2

，

9

2

）代入解得k=

1

3

，
∴y=

1

3

x，
∵E是OD與拋物線的交點(diǎn)，
∴聯(lián)立解析式組成方程組為：

y= 1 3 x2-4x+9 y= 1 3 x

，
解得：

x1= 13+ 61 2 y1= 13+ 61 6

或

x2= 13- 61 2 y2= 13- 61 6

，
故存在滿足條件的點(diǎn)E，有兩個(gè)坐標(biāo)分別是（

13+ 61

2

，

13+ 61

6

），（

13- 61

2

，

13- 61

6

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)解析式的確定、軸對(duì)稱的性質(zhì)以及函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．