Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿射線(xiàn)AO運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)沿OB的延長(zhǎng)線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)速度均為每秒一個(gè)單位長(zhǎng)．連接PQ交直線(xiàn)AB于D．
（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試求△PBQ的面積S與t的關(guān)系式．
（3）是否存在合適的t值，使△PBQ與△AOB的面積相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）過(guò)P作PE⊥AB與E，DE的長(zhǎng)度是固定值還是不確定的？直接寫(xiě)出你的判斷結(jié)果不必說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）令x=0，或y=0．即可得到B（0，2）；A（-2，0）；
（2）分類(lèi)討論：當(dāng)0≤t≤2，或t＞2，利用坐標(biāo)表示有關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式得到關(guān)系式；
（3）DE的長(zhǎng)度為定值．

解答：解：如圖：
（1）由x=0，y=2，B（0，2）；
由y=0，x=-2，A（-2，0）；（3分）

（2）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，AP=t，PO=2-t，S=

1

2

t(2-t)；
當(dāng)t＞2時(shí)，AP=t，PO=t-2，S=

1

2

t(t-2)；（6分）

（3）存在．
S_△AOB=

1

2

•AO•BO=2．
當(dāng)

1

2

t(2-t)=2時(shí)，t²-2t+4=0無(wú)解．
當(dāng)

1

2

t(t-2)=2時(shí)，t²-2t-4=0，t=1±

5

，t=1+

5

符合題意．
∴當(dāng)t=1+

5

時(shí)，S_△AOB=S_△PCQ．（9分）

（4）DE的長(zhǎng)度為定值，且DE=

1

2

AB=

2

理由如下：過(guò)P作PF∥OB交AB于F，
∵AO=BO=2，x軸⊥y軸．
∴AB=2

2

，且△AOB、△APE、△FPA均是等腰直角三角形．
∵AP=PF=BQ，
∴△PFD≌△QBD．
∴D是BF的中點(diǎn)．
∵PE⊥AB，
∴E是AF的中點(diǎn)，
∴DE=

1

2

AB=

2

．
P在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)類(lèi)似．仍有DE=

1

2

AB=

2

．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)：y=kx+b（k≠0）為一條直線(xiàn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足解析式．也考查了三角形的面積公式以及等腰直角三角形的性質(zhì)．