Question

如圖，某中學有一塊長為a m、寬為b m的矩形場地，計劃在該場地上修筑寬都為2m的兩條互相垂直的道路，余下的4塊矩形小場地建成草坪．

(1)請分別寫出每條道路的面積(用含a或含b的代數(shù)式表示)．

(2)已知a∶b＝2∶1，并且4塊草坪的面積之和為312m²，試求原來矩形場地的長與寬各為多少？

(3)在(2)的條件下，為進一步美化校園，根據(jù)實際情況，學校決定對整個矩形場地作如下設計(要求同時符合下述兩個條件)：

條件①：在每塊草坪上各修建一個面積盡可能大的菱形花圃(花圃各邊必須分別與所在草坪的對角線平行)，并且其中有兩個花圃的面積之差為13m²；

條件②：整個矩形場地(包括道路、草坪、花圃)為軸對稱圖形．

請你畫出符合上述設計方案的一種草圖(不必說明畫法與根據(jù))，并求出每個菱形花圃的面積．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)這兩條道路的面積分別為2a m2與2b m2． 　　(2)設b＝x m，a＝2x m，依題意得 　　x·2x－(2x＋4x－4)＝312．整理得x2－3x－154＝0， 　　解得x1＝14，x2＝－11(舍去)．∴b＝14，a＝2x＝28． 　　即矩形的長為28m，寬為14m． 　　(3)符合設計方案的一種草圖如圖(1)所示，其中4個菱形花圃中，第1個與第2個，第3個與第4個花圃的面積分別相等． 　　設AE＝x，則FB＝14－2－x＝(12－x)m，AG＝＝13m． 　　依題意得×13·x－(12－x)×13＝13，解得x＝7m， 　　∴大菱形花圃面積為×7×13＝45.5m2．小菱形花圃面積為×(12－7)×13＝32.5m2． 　　(注：其他符合設計方案的3種花圃見下面圖(1)、圖(2)、圖(3)，同上法仍可求得大、小花圃的面積分別為45.5m2與32.5m2)