Question

（2012•景寧縣模擬）已知二次函數(shù)y=-x²+4x+5圖象交x軸于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為4，連BD，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過P作PQ⊥AB交射線AD于點(diǎn)Q，以PQ為一邊在PQ的右側(cè)作正方形PQMN．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，0）．
（1）求點(diǎn)B，C，D的坐標(biāo)及射線AD的解析式；
（2）在AB上是否存在點(diǎn)P，使△OCM為等腰三角形？若存在，求正方形PQMN 的邊長；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)正方形PQMN與△ABD重疊部分面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式，當(dāng)x=0時(shí)，求出C點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)y=0時(shí)，求出B點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)A坐標(biāo)；將D點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=-x²+4x+5，即可求出點(diǎn)D縱坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)A、點(diǎn)D坐標(biāo)，應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出射線AD解析式；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)P，使△OCM為等腰三角形，根據(jù)勾股定理，若能求出P點(diǎn)坐標(biāo)，則P存在，同時(shí)可求出正方形PQMN 的邊長；否則P不存在；
（3）由于重疊部分面積是不確定的，所以要根據(jù)其重疊程度，分情況討論，得到不同的表達(dá)式．

解答：解：（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=5，則C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，5），
當(dāng)y=0時(shí)，-x²+4x+5=0，
解得（x+1）（x-5）=0，
x₁=-1；x₂=5．
則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為（5，0）．
將x=4代入y=-x²+4x+5得，y=-16+16+5=5，
則D點(diǎn)坐標(biāo)為（4，5）．
設(shè)AD的解析式為y=kx+b，
把A（-1，0），D（4，5）分別代入解析式y(tǒng)=kx+b得，

-k+b=0 4k+b=5

，
解得

k=1 b=1

，
函數(shù)解析式為y=x+1（x≥-1）．（2分）

（2）∵直線AD的解析式為：y=x+1，且P（t，0）．
∴Q（t，t+1），M（2t+1，t+1）
當(dāng)MC=MO時(shí)：t+1=

5

2

，
∴邊長為

5

2

．…（1分）
當(dāng)OC=OM時(shí)：（2t+1）²+（t+1）²=5²
解得t1=-

3

5

-

2 31

5

（舍去），t1=-

3

5

+

2 31

5

∴邊長為t+1=

2

5

+

2 31

5

．…（2分）
當(dāng)CO=CM時(shí)：（2t+1）²+（4-t）²=5²
解得t1=

2+2 11

5

，t2=

2-2 11

5

．
∴邊長為t+1=

7+2 11

5

．
或t+1=t2=

7-2 11

5

…（2分）

（3）當(dāng)1＜t≤

19

11

時(shí)，正方形的邊長為（t+1），故其面積為：s=（t+1）²；…（1分）
當(dāng)

19

11

≤t≤2時(shí)：s=-

111

10

t2+

219

5

t-

351

5

；…（1分）
當(dāng)2≤t≤4時(shí)：s=-

11

10

t2+

19

5

t+

49

10

；…（1分）
當(dāng)4≤t≤5時(shí)：s=

5

2

t2-25t+

125

2

．…（1分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、三角形及正方形的性質(zhì)、存在性問題等內(nèi)容，綜合性強(qiáng)，屬于難題．