Question

10．如圖，四邊形ABCD是邊長為5的正方形，點G是BC上的一點，DE⊥AG于點E，BF∥DE，且交AG于點F．若E是AF的中點，則BF的長為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=AB，∠BAD=90°，根據(jù)垂直的定義推出∠ADE=∠BAF，根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到∠AFB=∠DEG=∠AED．證得△ABF≌△DAE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BF=AE，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFB=90°，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°，
∵DE⊥AG，
∴∠DEM=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED，
在△ABF與△DAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFB=∠AED}\\{∠ADE=∠BAF}\\{AD=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DAE（AAS），
∴BF=AE，
∵BF∥DE，∠AED=90°
∴∠AFB=90°，
∵E是AF的中點，
∴AE=EF，
又∵BF=AE，
∴BF=EF=AE，
設BF為x，則AF為2x，
∵AB²=AF²+BF²，
∴5²=（2x）²+x²，
解得x=±$\sqrt{5}$（舍去-$\sqrt{5}$），
∴BF=$\sqrt{5}$，
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 此題主要考查學生對正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定的掌握情況，解題的關鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法以及正方形的各種有關性質(zhì)．