如圖，拋物線F：y=ax2+bx+c（a＞0）與y軸相交于點(diǎn)C，直線L1經(jīng)過(guò)點(diǎn)C且平行于x軸，將L1向上平移t個(gè)單位得到直線L2，設(shè)L1與拋物線F的交點(diǎn)為C、D，L2與拋物線F的交點(diǎn)為A、B，連接AC、BC．
（1）當(dāng)a=
1
2
，b=-
3
2
，c=1，t=2時(shí)，探究△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）若△ABC為直角三角形，求t的值（用含a的式子表示）；
（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A’恰好在拋物線F的對(duì)稱軸上，連接A’C，BD，求四邊形A’CDB的面積（用含a的式子表示）
精英家教網(wǎng)
分析：（1）根據(jù)a、b、c的值，可確定拋物線的解析式，進(jìn)而可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)；根據(jù)t的值，可確定直線L2的解析式，聯(lián)立拋物線的解析式即可得到A、B的坐標(biāo)；根據(jù)A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，可求出直線AC、BC的斜率，此時(shí)發(fā)現(xiàn)兩條直線的斜率的乘積為-1，所以它們互相垂直，由此可判定△ABC是直角三角形；
（2）根據(jù)拋物線的解析式可知：C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），那么直線L2的解析式為c+t，聯(lián)立拋物線的解析式可得到關(guān)于x的方程，那么方程的兩根即為A、B的橫坐標(biāo)，可由根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的長(zhǎng)；設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與L2的交點(diǎn)為F，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知AF=BF即F是AB中點(diǎn)，若△ABC是直角三角形，則AB=2CF，由此可得到CF的表達(dá)式；設(shè)L2與y軸的交點(diǎn)為E，那么CE的長(zhǎng)即為E、C縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值，EF的長(zhǎng)即為拋物線對(duì)稱軸方程的絕對(duì)值，在Rt△CEF中，根據(jù)勾股定理即可求出t的值；
（3）若A′恰好在拋物線的對(duì)稱軸上，那么AB=2AA′；而A、A′關(guān)于y軸對(duì)稱，那么AA′=2A′E，即AB=2A′B=4A′E；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性易知CD=2A′E，那么A′B平行且相等于CD，即四邊形A′BDC是平行四邊形，由AB=4EA′可求出b的值，而CD=A′B=-
b
a
，平行四邊形的高為t，根據(jù)平行四邊形的面積計(jì)算方法即可求出四邊形A′CDB的面積．
解答：解：（1）當(dāng)a=
1
2
，b=-
3
2
，c=1，
y=
1
2
x2-
3
2
x+1，
當(dāng)t=2時(shí)，
A、B縱坐標(biāo)為3，
令y=3，解得x=-1或x=4，
故A（-1，3），B（4，3），C（0，1），
AC2=12+（3-1）2=5，BC2=42+（3-1）2=20，AB2=（4+1）2=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴AC與BC垂直，
故△ABC是直角三角形．

（2）設(shè)AB交y軸于E，交拋物線對(duì)稱軸于M，則M為AB中點(diǎn)，連接CM；
由方程c+t=ax2+bx+c得ax2+bx-t=0，
設(shè)方程的兩根為x1、x2，由根與系數(shù)的關(guān)系得：精英家教網(wǎng)
x1+x2=-
b
a
，x1x2=-
t
a
；
AB=|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
b2+4at
a
；
∴CM=
1
2
AB=
b2+4at
2a
；
在Rt△CEM中，CE=t，EM=|-
b
2a
|；
∴t2+|-
b
2a
|2=（
b2+4at
2a
）2，即4a2t2-4at=0
解得t=
1
a
；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′恰好在拋物線F的對(duì)稱軸上，
精英家教網(wǎng)∴對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)，a，b異號(hào)，
∴b＜0，且AB=4EA′；
∴
b2+4at
a
=-
b
2a
×4，
解得b=-
2
3
3
；
∴CD=A′B=-
b
a
，
∴四邊形A′CDB是平行四邊形，
則它的面積為-
b
a
×t=
2
3
3a2
．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、直角三角形的判定和性質(zhì)、拋物線的對(duì)稱性、勾股定理以及平行四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大．
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相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

26、已知：如圖，拋物線C1，C2關(guān)于x軸對(duì)稱；拋物線C1，C3關(guān)于y軸對(duì)稱．拋物線C1，C2，C3與x軸相交于A、B、C、D四點(diǎn)；與y相交于E、F兩點(diǎn)；H、G、M分別為拋物線C1，C2，C3的頂點(diǎn)．HN垂直于x軸，垂足為N，且|OE|＞|HN|，|AB|≠|(zhì)HG|
（1）A、B、C、D、E、F、G、H、M9個(gè)點(diǎn)中，四個(gè)點(diǎn)可以連接成一個(gè)四邊形，請(qǐng)你用字母寫(xiě)出下列特殊四邊形：菱形
AHBG
；等腰梯形
HGEF
；平行四邊形
EGFM
；梯形
DMHC
；（每種特殊四邊形只能寫(xiě)一個(gè)，寫(xiě)錯(cuò)、多寫(xiě)記0分）
（2）證明其中任意一個(gè)特殊四邊形；
（3）寫(xiě)出你證明的特殊四邊形的性質(zhì)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-2，0），點(diǎn)B（4，0），交y軸于點(diǎn)C（0，4）．
（1）求拋物線的解析式，并寫(xiě)出頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）若直線y=x交拋物線于M，N兩點(diǎn)，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)E，連接BC，EB，EC．試判斷△EBC的形狀，并加以證明；
（3）設(shè)P為直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PF∥ED交直線MN上方的拋物線于點(diǎn)F．問(wèn)：在直線MN上是否存在點(diǎn)P，使得以P，E，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P及相應(yīng)的點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（1，4），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是A（-1，0），與y軸交于點(diǎn)B，直線x=1交x軸于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)B、M兩點(diǎn)的直線的解析式，并求出此直線與x軸的交點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸x=1上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)你探索：在x軸上方是否存在這樣的P點(diǎn)，使精英家教網(wǎng)以P為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，并且與直線BM相切？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，拋物線y=ax2+bx+c交x軸于點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），交y軸于點(diǎn)E（0，-3）精英家教網(wǎng)．點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)F是線段BC的中點(diǎn)，直線l過(guò)點(diǎn)F且與y軸平行．直線y=-x+m過(guò)點(diǎn)C，交y軸于D點(diǎn)．
（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）點(diǎn)K為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)K作x軸的垂線與直線CD交于點(diǎn)H，與拋物線交于點(diǎn)G，求線段HG長(zhǎng)度的最大值；
（3）在直線l上取點(diǎn)M，在拋物線上取點(diǎn)N，使以點(diǎn)A，C，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸兩交點(diǎn)是A（-1，0），B（3，0），則如圖可知y＜0時(shí)，x的取值范圍是（　　）
A、-1＜x＜3B、3＜x＜-1C、x＞-1或x＜3D、x＜-1或x＞3

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