Question

在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊腰長(zhǎng)為

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的等腰直角三角板ABC放在第三象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A（0，-2），直角頂點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上（如圖所示），拋物線y=ax²+ax+2經(jīng)過點(diǎn)B．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為______，點(diǎn)B的坐標(biāo)為______；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）作BD⊥x軸于D，如圖，
∵AC=

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，A點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2），
∴OC=

AC2-OA2

=1，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）；
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠ACB=90°，BC=AC，
∴∠DCB+∠ACO=90°，∠DCB+∠DBC=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴Rt△DBC≌Rt△OCA，
∴DC=OA=2，DB=OC=1，
∴OD=OC+CD=1+2=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，-1）；
故答案為（-1，0），（-3，-1）；
（2）把B（-3，-1）代入y=ax²+ax+2得（-3）²a-3a+2=-1，解得a=-

1

2

，
拋物線的解析式為y=-

1

2

x²-

1

2

x+2；
（3）存在．理由如下：
①過A點(diǎn)作P₁A⊥AC，且AP₁=AC=

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，則△ACP₁為等腰直角三角形，再作P₁E⊥y軸于E，如圖，
與（1）一樣可證得Rt△EAP₁≌Rt△OCA，
∴P₁E=OA=2，AE=OC=1，
∴OE=OA-AE=2-1=1，
∴P₁點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-1），
當(dāng)x=2時(shí)，y=-

1

2

x²-

1

2

x+2=-

1

2

×2²-

1

2

×2+2=-1，
∴P₁點(diǎn)在拋物線上；
②過C點(diǎn)作P₂C⊥CA，且CP₂=AC=

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，則△ACP₂為等腰直角三角形，再作P₂F⊥x軸于F，如圖，
與（1）一樣可證得Rt△FCP₂≌Rt△OCA，
∴P₂F=OC=1，CF=OA=2，
∴OF=CF-OC=2-1=1，
∴P₂點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），
當(dāng)x=1時(shí)，y=-

1

2

x²-

1

2

x+2=-

1

2

×1²-

1

2

×1+2=1，
∴P₂點(diǎn)在拋物線上，
∴在拋物線上存在點(diǎn)P（點(diǎn)B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形．滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-1）、（1，1）．