Question

如圖1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點(diǎn)O是斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)A為半徑作⊙O與AC邊交于點(diǎn)P，

1.當(dāng)OA=時(shí)，求點(diǎn)O到BC的距離

2.如圖2，當(dāng)OA=時(shí)，求證：直線BC與⊙O相切；此時(shí)線段AP的長(zhǎng)是多少？

3.若BC邊與⊙O有公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出 OA

的取值范圍；

4.若CO平分∠ACB，則線段AP的長(zhǎng)是多少？

 

Answer 1

【答案】

 

1.解：在Rt△ABE中，．   …………… 1分

過(guò)點(diǎn)O作OD⊥BC于點(diǎn)D，則OD∥AC，

∴△ODB∽△ACB， ∴，   ∴，   ∴，

∴點(diǎn)O到BC的距離為．      …………………………………………………    3分

2.證明：過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E， OF⊥AC于點(diǎn)F，

∵△OEB∽△ACB，  ∴  ∴，   ∴．

∴直線BC與⊙O相切．         ………………………………………………… 5分

此時(shí)，四邊形OECF為矩形，

∴AF=AC-FC=3-=，

∵OF⊥AC，

∴AP=2AF=．                 …………………………………………………   7分

3.；             …………………………………………………  9分

4.點(diǎn)O作OG⊥AC于點(diǎn)G， OH⊥BC于點(diǎn)H，

則四邊形OGCH是矩形，且AP=2AG，

又∵CO平分∠ACB，∴OG=OH，∴矩形OGCH是正方形．  ………………… 10分

設(shè)正方形OGCH的邊長(zhǎng)為x，則AG=3-x，

∵OG∥BC，

∵△AOG∽△ABC，   ∴，  ∴ ，

∴，

∴，

∴AP=2AG=．               …………………………………………………    12分

【解析】略