Question

如圖，BC為半圓O的直徑，D為半圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線AD，作BA⊥DA于點(diǎn)A，BA交半圓于點(diǎn)E，已知BC=10，AD=4，若直線CE與以點(diǎn)O為圓心，r為半徑的圓相切，則r等于（　　）

A．2

B．2.5

C．3

D．3.5

Answer 1

分析：連接OD，由AD為圓O的切線，得到OD垂直于AD，由BC為圓O的直徑，得到BE垂直于EC，又BA垂直于AD，得到EC與AD平行，利用與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直，得到OD垂直于EC，利用垂徑定理得到F為EC的中點(diǎn)，由三個(gè)角為直角的四邊形為矩形得到AEFD為矩形，得到AD=EF=4，可得出EC的長(zhǎng)，在直角三角形BEC中，由BC與EC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出BE的長(zhǎng)，再由FO為三角形BEC的中位線，利用中位線定理得到OF為BE的一半，求出OF的長(zhǎng)，即為所求圓的半徑r．

解答：解：連接OD，與EC交于F點(diǎn)，
∵AD為圓O的切線，
∴OD⊥AD，
∵BC為圓O的直徑，
∴∠BEC=90°，
又BA⊥AD，
∴∠A=90°，
∴∠BEC=∠A=90°，
∴EC∥AD，
∴OD⊥EC，
∴F為EC的中點(diǎn)，即EF=FC，
∵∠A=∠AEF=∠ADF=90°，
∴四邊形AEFD為矩形，
∴EF=AD=4，
∴EC=2EF=8，
在Rt△BEC中，BC=10，EC=8，
根據(jù)勾股定理得：BE=

BC2-EC2

=6，
∵F為EF的中點(diǎn)，O為BC的中點(diǎn)，
∴OF為△EBC的中位線，
∴OF=

1

2

BE=3，
則r的值為3．
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．