Question

已知拋物線與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，點D為拋物線的頂點．

（1）求A、B的坐標；

（2）過點D作DH丄y軸于點H，若DH=HC，求a的值和直線CD的解析式；

（3）在第（2）小題的條件下，直線CD與x軸交于點E，過線段OB的中點N作NF丄x軸，并交直線CD于點F，則直線NF上是否存在點M，使得點M到直線CD的距離等于點M到原點O的距離？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

 解：（1）由y=0得，ax²-2ax-3a=0，

∵a≠0，

∴x²-2x-3=0，

解得x₁=-1，x₂=3，

∴點A的坐標（-1，0），點B的坐標（3，0）；

（2）由y=ax²-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，

∴C（0，-3a），

又∵y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a，

得D（1，-4a），

∴DH=1，CH=-4a-（-3a）=-a，

∴-a=1，

∴a=-1，

∴C（0，3），D（1，4），

設直線CD的解析式為y=kx+b，把C、D兩點的坐標代入得， ，

解得 ，

∴直線CD的解析式為y=x+3；

（3）存在．

由（2）得，E（-3，0），N（- ，0）

∴F（ ， ），EN= ，

作MQ⊥CD于Q，

設存在滿足條件的點M（ ，m），則FM= -m，

EF= = ，MQ=OM=

由題意得：Rt△FQM∽Rt△FNE，

∴ = ，

整理得4m²+36m-63=0，

∴m²+9m= ，

m²+9m+ = +

（m+ ）²=

m+ =±

∴m₁= ，m₂=- ，

∴點M的坐標為M₁（ ， ），M₂（ ，- ）．