Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A（-1，0）、E（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B（0，3）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)拋物線頂點(diǎn)為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請(qǐng)給以證明；如果不相似，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）易得c=3，故設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+3，根據(jù)拋物線所過(guò)的三點(diǎn)的坐標(biāo)，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；
（2）易由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE，代入數(shù)值可得答案；
（3）根據(jù)題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，即可判斷出兩三角形相似．

解答：解：（1）∵拋物線與y軸交于點(diǎn)（0，3），
∴設(shè)拋物線解析式為y=ax²+bx+3（a≠0）（1分）
根據(jù)題意，得

a-b+3=0 9a+3b+3=0

，
解得

a=-1 b=2

∴拋物線的解析式為y=-x²+2x+3（5分）；

（2）如圖，設(shè)該拋物線對(duì)稱(chēng)軸是DF，連接DE、BD．過(guò)點(diǎn)B作BG⊥DF于點(diǎn)G．
由頂點(diǎn)坐標(biāo)公式得頂點(diǎn)坐標(biāo)為D（1，4）（2分）
設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交點(diǎn)為F
∴四邊形ABDE的面積=S_△ABO+S_梯形BOFD+S_△DFE
=

1

2

AO•BO+

1

2

（BO+DF）•OF+

1

2

EF•DF
=

1

2

×1×3+

1

2

×（3+4）×1+

1

2

×2×4
=9；

（3）相似，如圖，
BD=

BG2+DG2

=

12+12

=

2

；
∴BE=

BO2+OE2

=

32+32

=3

2

DE=

DF2+EF2

=

22+42

=2

5

∴BD²+BE²=20，DE²=20
即：BD²+BE²=DE²，
所以△BDE是直角三角形
∴∠AOB=∠DBE=90°，且

AO

BD

=

BO

BE

=

2

2

，
∴△AOB∽△DBE（2分）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查學(xué)生將二次函數(shù)的圖象與解析式相結(jié)合處理問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．