Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD為菱形，點A，B的坐標(biāo)分別為（3，0）、（0，4），動點M從點B出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿BA向終點A運動，連接MO并延長交CD于點N，過點N作NP⊥BD，交BD于點P，連接MP，當(dāng)動點M運動了t秒時．
（1）N點的坐標(biāo)為

 

，P點的坐標(biāo)為

 

（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）記△MNP的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式（0＜t＜5），并求出當(dāng)t取何值時，S有最大值，最大值是多少？
（3）在M出發(fā)的同時，有一動點Q從A點開始在線段AO上以每秒

1

2

個單位長度的速度向點O移動，試求當(dāng)t為何值時，△AMQ與△AOB相似．

Answer 1

分析：（1）本題關(guān)鍵是求N的坐標(biāo)，有了N的坐標(biāo)也就求出了P的坐標(biāo)，我們不難發(fā)現(xiàn)M，N關(guān)于原點對稱，因此只要求出M的坐標(biāo)就求出了N的坐標(biāo)，我們看M的坐標(biāo)，我們知道M的速度，可以用時間t表示出BM的長，那么OB-BM•sin∠BAC就是M的縱坐標(biāo)，BM•sin∠ABP就是M的橫坐標(biāo)，∠BAC和∠ABP的正弦值可以在△AOB中求出因此就能求出M、N、P的坐標(biāo)了；
（2）可以把NP當(dāng)做△MNP的底邊，那么它的長度就是N點橫坐標(biāo)的絕對值，而NP邊上的高就是M、P縱坐標(biāo)的差的絕對值，因此可根據(jù)三角形的面積公式得出關(guān)于S，t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）要分情況討論：因為兩個三角形公用了∠BAO因此只要看看另外的△MQA中另外的兩個角哪個當(dāng)直角就可以了，可根據(jù)三角形相似得出線段的比例來求解．

解答：解：（1）由圖可得OB-BM•sin∠BAC就是M的縱坐標(biāo)，BM•sin∠ABP就是M的橫坐標(biāo)，
于是得N（-

3

5

t，-4+

4

5

t），P（0，-4+

4

5

t）；

（2）S=

1

2

|NP|•h=

1

2

•

3

5

t•（8-

8

5

t）=-

12

25

（t-

5

2

）²+3，
t=

5

2

時，S有最大值，Smax=3；

（3）△AMQ與△AOB相似，分情況討論：
①∠MQA=90°時，則M、Q的橫坐標(biāo)相等，
x_M=x_Q，x_M=

3

5

t，x_Q=3-

1

2

t，
∴t=

30

11

；
②∠QMA=90°時，由△AQM∽△AOB可得，

AM

AO

=

AQ

AB

，

5-t

3

=

1 2 t

5

，t=

50

13

；
③因為∠BAC不可能是直角，所以這種情況不存在，
∴當(dāng)t為

30

11

或

50

13

時，△AMQ與△AOB相似．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，菱形的性質(zhì)等知識點，要注意（3）中要根據(jù)不同的對應(yīng)角來分情況進行討論．