Question

（2012•老河口市模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=ax²+bx+c交y軸于A（0，4），交x軸于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)）．B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，0），（8，0）．
（1）求此拋物線(xiàn)的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)B作線(xiàn)段AB的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)D，如果以點(diǎn)C為圓心的圓與直線(xiàn)BD相切，請(qǐng)判斷拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明；
（3）已知點(diǎn)P是拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是對(duì)稱(chēng)軸l上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以P、Q、B、C為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；
（2）已知∠ABD是直角，若連接圓心和切點(diǎn)（暫定為E），不難看出Rt△OAB、Rt△EBC相似（或全等），可據(jù)此求出⊙C的半徑，再將該半徑與點(diǎn)C到對(duì)稱(chēng)軸l的距離進(jìn)行比較即可；
（3）此題應(yīng)分兩種情況討論：
①BC為平行四邊形的邊；那么將點(diǎn)Q向左或向右平移BC長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，再代入拋物線(xiàn)的解析式中求解即可；
②BC為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)；根據(jù)平行四邊形的中心對(duì)稱(chēng)性，點(diǎn)P必在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，顯然只有拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求．

解答：解：（1）根據(jù)題意，可設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為y=ax²+bx+4，根據(jù)題意，得：

9a+3b+4=0 64a+8b+4=0

，
解得

a= 1 6 b=- 11 6

．
故拋物線(xiàn)的解析式為y=

1

6

x²-

11

6

x+4；

（2）設(shè)⊙C與BD相切于點(diǎn)E，連接CE，則∠BEC=∠AOB=90°．
∵A（0，4）、B（3，0）、C（8，0），
∴OA=4，OB=3，OC=8，BC=5；
∴AB=

OA2+OB2

=5，
∴AB=BC．
∵AB⊥BD，
∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°，
∴∠EBC=∠OAB，
∴

∠OAB=∠EBC ∠AOB=∠BEC AB=BC

，
∴△OAB≌△EBC，
∴OB=EC=3．
設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于F．
∵x=-

b

2a

=-

- 11 6

2× 1 6

=

11

2

，
∴F（

11

2

，0），
∴CF=8-

11

2

=

5

2

＜3，
∴對(duì)稱(chēng)軸l與⊙C相交；

（3）由（2）知：拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為x=

11

2

，設(shè)Q（

11

2

，y_Q），已知BC=5，則有：
①若BC為邊，則：P（

11

2

+5，y_P）或（

11

2

-5，y_P），代入拋物線(xiàn)的解析式中，可得：
P₁（

21

2

，

25

8

）、P₂（

1

2

，

25

8

）；
②若BC為對(duì)角線(xiàn)，則點(diǎn)P必在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上，即此時(shí)點(diǎn)P是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（

11

2

，-

25

24

）．
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，坐標(biāo)為（

1

2

，

25

8

）或（

21

2

，

25

8

）或（

11

2

，-

25

24

）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、全等三角形的判定和性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系以及平行四邊形的特點(diǎn)等重要知識(shí)點(diǎn)；（4）的類(lèi)型題中，根據(jù)平行四邊形的特點(diǎn)，將一點(diǎn)平移得出另一點(diǎn)，再代入拋物線(xiàn)的解析式中求解；或過(guò)兩點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線(xiàn)，通過(guò)構(gòu)建全等三角形求解都是常用的方法．