Question

如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q，連接BQ．
（1）試證明：無(wú)論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；
（2）當(dāng)△ADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1：6時(shí)，求BQ的長(zhǎng)度，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)P在AB上的位置．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等，對(duì)角線平分一組對(duì)角，可得AB=AD，∠DAQ=∠BAQ，而AQ是△ADQ和△ABQ的公共邊，所以兩三角形全等；
（2）根據(jù)面積之比為1：6，先求出△ADQ的面積為6，過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，即可求出AD邊上的高QE的長(zhǎng)度為2，所以QF也等于2，再求出BF的長(zhǎng)度為4，利用勾股定理即可求出BQ的長(zhǎng)度，在△DAP中利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出AP的長(zhǎng)度為3，所以，點(diǎn)P在AB的中點(diǎn)位置．

解答：（1）證明：在△ADQ和△ABQ中，

AD=AB ∠DAQ=∠BAQ AQ=AQ

，
∴△ADQ≌△ABQ（SAS）；

（2）解：∵△ADQ的面積與正方形ABCD面積之比為1：6，正方形面積為6²=36，
∴△ADQ的面積為6，
過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AD于E，QF⊥AB于F，
∵△ADQ≌△ABQ，
∴QE=QF，
∴

1

2

AD•QE=6，
∴QE=QF=2，
∵∠BAD=∠QEA=∠QFA=90°，
∴四邊形AEQF為正方形，
∴AF=QE=2，
∴BF=6-2=4，
在Rt△QBF中，
BQ=

QF2+BF2

=

22+42

=2

5

，
∵△DEQ∽△DAP，
∴

DE

AD

=

EQ

AP

，即

6-2

6

=

2

AP

，
∴AP=3，
∴P在AB的中點(diǎn)位置（或者回答此時(shí)AP=3）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了正方形的邊與角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定，勾股定理的運(yùn)用以及平行線分線段成比例定理，對(duì)同學(xué)們能力要求較高．