Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），以O(shè)A為一邊，在第一象限作等邊△OAB
（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）直線y=

3

2

x與（2）中的拋物線在第一象限相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（4）在（3）中，直線OC上方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)D，使得△OCD的面積最大？如果存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)和面積的最大值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0），△OAB是等邊三角形，作高后利用勾股定理可以求出；
（2）題利用頂點(diǎn)式可以求出解析式；
（3）由直線y=

3

2

x與拋物線相交，用x表示出點(diǎn)C的坐標(biāo)，即可求出；
（4）假設(shè)存在這樣一個點(diǎn)，用x表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，即可求出．

解答：解：（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，
∵△OAB是等邊三角形，
∴OE=2，BE=2

3

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2

3

）；

（2）根據(jù)拋物線的對稱性可知，點(diǎn)B（2，2

3

）是拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-2）²+2

3

，
當(dāng)x=0時，y=0，
∴0=a（0-2）²+2

3

，
∴a=-

3

2

，
∴拋物線的解析式為y=-

3

2

（x-2）²+2

3

，
即：y=-

3

2

x²+2

3

x；

（3）設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x，則縱坐標(biāo)為

3

2

x，
即點(diǎn)C的坐標(biāo)為（x，

3

2

x）代入拋物線的解析式得：

3

2

x=-

3

2

x²+2

3

x，
解得：x=0或x=3，
∵點(diǎn)C在第一象限，
∴x=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，

3 3

2

）；

（4）存在．
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，-

3

2

x²+2

3

x），△OCD的面積為S，
過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交OC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（x，

3

2

x），
作CM⊥DF于點(diǎn)M，
則OF+CM=3，DG=-

3

2

x²+2

3

x-

3

2

x=-

3

2

x²+

3 3

2

x，
∴S=S_△OCD=S_△DGO+S_△DGC=

1

2

DG•OF+

1

2

DG•CM=

1

2

DG•（OF+CM）=

1

2

DG×3
=

1

2

（-

3

2

x²+

3 3

2

x）×3，
∴S=-

3 3

4

x²+

9 3

4

x=-

3 3

4

（x-

3

2

）²+

27 3

16

，
∴△OCD的最大面積為

27 3

16

，此時點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，

15 3

8

）．

點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)解析式的求法，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合應(yīng)用，還有二次函數(shù)最值問題，綜合性比較強(qiáng)，題目很典型．