Question

（2011•鞍山）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，平行四邊形的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（8，8），頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-6，0），邊AB在x軸上，點(diǎn)E為線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段DC上，且橫坐標(biāo)為3，直線EF與y軸交于點(diǎn)G，有一動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度，從點(diǎn)A沿折線A-B-C-F運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)F時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）求直線EF的表達(dá)式及點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，設(shè)△EFP的面積為S（P不與F重合），試求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使得△PGF為直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)C的坐標(biāo)可求出點(diǎn)F的縱坐標(biāo)，結(jié)合題意可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，利用△AHE∽△AOD，可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，從而利用待定系數(shù)法可確定直線EF的解析式，令x=0，可得出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
（2）延長(zhǎng)HE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，討論點(diǎn)P的位置，①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)P在CF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別利用面積相減法可求出答案．
（3）很明顯在BC上存在兩個(gè)點(diǎn)使△PGF為直角三角形，這兩點(diǎn)是通過(guò)①過(guò)點(diǎn)G作GP⊥EF，②過(guò)點(diǎn)F作FP⊥EF得出來(lái)的．

解答：解：（1）∵C（8，8），DC∥x軸，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為3，
∴OD=CD=8．
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（3，8），
∵A（-6，0），
∴OA=6，
∴AD=10，
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，
則△AHE∽△AOD．
又∵E為AD的中點(diǎn)，
∴

AH

AO

=

AE

AD

=

EH

DO

=

1

2

．
∴AH=3，EH=4．
∴OH=3．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，4），
設(shè)過(guò)E、F的直線為y=kx+b，
∴

3k+b=8 -3k+b=4

∴

k= 2 3 b=6

∴直線EF為y=

2

3

x+6，
令x=0，則y=6，即點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0，6）．

（2）延長(zhǎng)HE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，
則EM=EH=4．
∵DF=3，
∴S_△DEF=

1

2

×3×4=6，
且S_{平行四邊形ABCD}=CD•OD=8×8=64．
①當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖3，
S=S_{平行四邊形ABCD}-S_△DEF-S_△APE-S_{四邊形PBCF}．
∵AP=t，EH=4，
∴S_△APE=

1

2

×4t=2t，
S_{四邊形PBCF}=

1

2

（5+8-t）×8=52-4t．
∴S=64-6-2t-（52-4t），
即：S=2t+6．
②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
S=S_{平行四邊形ABCD}-S_△DEF-S_△PCF-S_{四邊形ABPE}．
過(guò)點(diǎn)P作PN⊥CD于點(diǎn)N．
∵∠C=∠A，sin∠A=

OD

AD

=

4

5

，
∴sin∠C=

4

5

．
∵PC=18-t，
∴PN=PC•sin∠C=

4

5

（18-t）．
∵CF=5，
∴S_△PCF=

1

2

×5×

4

5

（18-t）=36-2t．
過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AD于點(diǎn)K．
∵AB=CD=8，
∴BK=AB•sin∠A=8×

4

5

=

32

5

．
∵PB=t-8，
∴S_{四邊形ABPE}=

1

2

（t-8+5）×

32

5

=

16

5

t-

48

5

．
∴S=64-6-（36-2t）-（

16

5

t-

48

5

），
即　S=-

6

5

t+

158

5

．（8分）
③當(dāng)點(diǎn)P在CF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
∵PC=t-18，
∴PF=5-（t-18）=23-t．
∵EM=4，
∴S_△PEF=

1

2

×4×（23-t）=46-2t．
綜上：S=

2t+6，(0≤t＜8) 6 5 t + 158 5 ，(8≤t＜18) 46-2t．(18≤t＜23)

（3）存在．
P₁（

52

17

，

24

17

）．
P₂（

91

17

，

76

17

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，綜合了平行四邊形、待定系數(shù)法及直角三角形的性質(zhì)，難度較大，關(guān)鍵是仔細(xì)審題，理解每一問(wèn)要求的問(wèn)題，對(duì)于第二問(wèn)要分類討論點(diǎn)P的位置，不要遺漏．