Question

如圖1，把邊長分別是為4和2的兩個正方形紙片OABC和OD′E′F′疊放在一起．
（1）操作1：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)45°得到正方形ODEF，如圖2，連接AD、CF，線段AD與CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？試證明你的結(jié)論；
（2）操作2，在圖2，將正方形ODEF沿著射線DB以每秒1個單位的速度平移，平移后的正方形ODEF設(shè)為正方形PQMN，如圖3，設(shè)正方形PQMN移動的時間為x秒，正方形PQMN與正方形OABC的重疊部分面積為y，直接寫出y與x之間的函數(shù)解析式；
（3）操作3：固定正方形OABC，將正方形OD′E′F′繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到正方形OHKL，如圖4，求△ACK的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠AOB=∠COF，然后證得△AOD≌△COF后即可證得AD=CF；
（2）分當(dāng)0≤x≤4

2

-4時、當(dāng)4

2

-4≤x≤2時、2≤x≤4

2

-2時、4

2

-2≤x≤4

2

時、x≥4

2

時五種情況列出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系式即可；
（3）連接OK，利用內(nèi)錯角相等得到OK∥AC，然后得到S_△ACK=S_△AOC=8．

解答：解：（1）相等
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠AOB=∠COF，
在△AOD和△COF中，

AO=CO ∠AOB=∠COF OD=OF

∴△AOD≌△COF（SAS），
∴AD=CF；

（2）①當(dāng)0≤x≤4

2

-4時，y=2²-

1

2

（2-x）²=-

1

2

x²+2x+2；
②當(dāng)4

2

-4≤x≤2時，y=2²-

1

2

（2-x）²-

1

2

（4+x-4

2

）²；
③2≤x≤4

2

-2時，y=2²-

1

2

（4+x-4

2

）²；
④4

2

-2≤x≤4

2

時，y=

1

2

（4

2

-x）²
⑤x≥4

2

時，y=0．

（3）連接OK，
∵∠COK=∠ACO=45°，
∴OK∥AC，
∴S_△ACK=S_△AOC=8．

點(diǎn)評：本題考查了幾何變換的綜合題，難度較大，特別是第二題中的列函數(shù)關(guān)系式，更是個難點(diǎn)，動點(diǎn)問題往往是中考的熱點(diǎn)考題之一．