Question

隨著人們對健康認(rèn)知度的提高，人們對食品的健康要求也越來越高，我市對食品安全檢查的力度也越來越強．某一奶制品企業(yè)經(jīng)銷某種牛奶，已知每箱牛奶的成本為40元，其每個月的銷量y（萬箱）與銷售單價x（元）的關(guān)系如下表所示（x為5的倍數(shù)，且x≤80元）．

售價x （元）	…	60	65	70	75	80
月銷量y （萬箱）	…	6	5.5	5	4.5	4

又已知該企業(yè)每月銷售該種牛奶的總開支z（萬元）（不含牛奶成本）與銷量y（萬箱）存在函數(shù)關(guān)系：z=10y+42．
（1）請觀察題中的表格，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，求出月銷量y與售價x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)售價定為何值時，月銷售利潤最大？且最大是多少？
（3）到今年2月底止，該企業(yè)都在獲得最大利潤的基礎(chǔ)上進行銷售，從今年3月份開始，該企業(yè)為滿足人們需要，積極響應(yīng)市里號召，停止生產(chǎn)該種牛奶準(zhǔn)備加工生產(chǎn)一種高優(yōu)質(zhì)牛奶，于是采取了一系列優(yōu)化措施，其中添置生產(chǎn)處理設(shè)備共250萬元，并增加安全技術(shù)人員50名，這樣每月的總開支（不含牛奶成本）將比2月份增加5萬元，而一箱牛奶的成本比原來增加了25%，但該企業(yè)為了促銷新品種牛奶，3月份每箱牛奶的售價卻比2月份下降了25%，3月的銷量比2月增加了40%，到了4月份取消促銷活動，每箱牛奶的價格在3月份的基礎(chǔ)上增加了n%，銷量在3月份的基礎(chǔ)上增加了0.25n%，以這樣的銷售持續(xù)到5月底，則從2月到5月共獲利潤295萬元，試估計n的整數(shù)值．（32²=1024，33²=1089，34²=1156）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）由于圖中數(shù)據(jù)為均勻變化，故可猜想y與x為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出解析式，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）先利用銷量乘以每件的銷售利潤減去月總開支就是每月的銷售利潤，然后化為頂點式就可以求出月銷售的最大利潤；
（3）由（2）可以得出最高售價是80元，最大利潤是78萬元，可以得出2月份的銷售數(shù)量為4萬箱、總開支為82萬元．再通過數(shù)量關(guān)系表示出3月的成本價為40×（1+25%）元，售價為80（1-25%）元，銷量為4（1+40%）萬箱，就可以求出3月的利潤，再通過3月銷售情況及數(shù)量關(guān)系求出4月、5月的銷售利潤建立等量關(guān)系，就可以n的值．

解答：解：（1）設(shè)解析式為y=kx+b，
將（60，6），（70，5）分別代入解析式得，

6=60k+b 5=70k+b

，
解得

k=- 1 10 b=12

，
則解析式為y=-

1

10

x+12；

（2）設(shè)月銷售利潤為W，由題意，得
W=（x-40）（-0.1x+12）-（10y+42）
=-0.1x2+12x+4x-480-10（-0.1x+12）-42
=-0.1（x-85）²+80.5，
∵a=-0.1＜0，
∴拋物線的開口向下，在拋物線的左側(cè)W隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x=85時，W有最大值80.5．
∵x為5的倍數(shù)，且x≤80元，
∴x=80時，W有最大值：78；

（3）由題意，得
二月的銷量為：-

1

10

x80+12=4，
二月的總開支為：10×4+42=82萬元，
∴3月的成本價為40×（1+25%）=50元，
售價為80（1-25%）=60元．
銷量為4（1+40%）=5.6萬箱．
∴3月的利潤為：5.6（60-50）-82-5-250=-281萬元．
∴4月份售價為60（1+n%），銷量為：5.6（1+0.25n%），
∴4月的利潤為：[60（1+n%）-50][5.6（1+0.25n%）]-87，
∴{[60（1+n%）-50][5.6（1+0.25n%）]-87}×2+78-281=295，
設(shè)n%=m，則{[60（1+m）-50][5.6（1+0.25m）]-87}×2+78-281=295，
化簡為：6m²+25m-20=0
解得m=

-25± 1105

12

，
m₁=

-58

12

（不符合題意，應(yīng)舍去）．
m₂=

8

12

=66.7%．
∴n=67．

點評：考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的解析式及頂點式求函數(shù)的最值．在解答時要注意未知數(shù)的值要使實際問題有意義．