Question

如圖，⊙O與矩形ABCD的AD、AB、CD的三邊分別相切于E、F、G三點(diǎn)，邊BC與⊙O交于P、Q兩點(diǎn)，若AD=4，AB=3，則sin∠PEQ的值為（　�。�

• A、

  2

  2

• B、

  3

  2

• C、

  7

  3

• D、

  4

  5

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),勾股定理,矩形的性質(zhì),垂徑定理,銳角三角函數(shù)的定義

專題：計(jì)算題

分析：連接EO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)M，連接FG，過圓心O，連接OP，OQ，由圓O與矩形三邊都相切，利用切線的性質(zhì)得到OE垂直于AD，OF垂直于AB，OG垂直于DC，切線長(zhǎng)AE=AF，DE=DG，同時(shí)得到四邊形AEMB為矩形，四邊形AEOF與EODG都為正方形，可得出AE=DE，AD即為圓的直徑，求出圓的半徑OP的長(zhǎng)，再由EM-EO求出OM的長(zhǎng)，由OM垂直于PQ，得到M為PQ的中點(diǎn)，在直角三角形OPM中，由OM等于OP的一半，得到∠OPM=30°，進(jìn)而求出∠POM=60°，又三角形OPQ為等腰三角形，利用三線合一得到OM為∠POQ角平分線，確定出∠POQ的度數(shù)，利用同弧所對(duì)的圓心角等于所對(duì)圓周角的2倍，求出∠PEQ的度數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出所求式子的值．

解答：解：連接EO并延長(zhǎng)，交圓O于點(diǎn)M，連接FG，過圓心O，連接OP，OQ，
∵⊙O與矩形ABCD的AD、AB、CD的三邊分別相切于E、F、G三點(diǎn)，
∴OE⊥AD，OF⊥AB，OG⊥DC，AE=AF，DE=DG，
∴四邊形ABME為矩形，四邊形AEOF和EODG為正方形，
∴EM⊥PQ，AE=DE，
∴M為PQ的中點(diǎn)，
又∵AD=4，AB=3，
∴EM=AB=3，F(xiàn)G=AD=4，即圓的直徑為4，
∴OP=OE=2，OM=EM-OE=3-2=1，
在Rt△OPM中，OM=

1

2

OP，
∴∠OPM=30°，∠POM=60°，
∴∠POQ=120°，
∴∠PEQ=60°，
則sin∠PEQ=sin60°=

3

2

．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)，勾股定理，垂徑定理，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．