Question

如圖，AB是⊙O的直徑，點C在BA的延長線上，直線CD與⊙O相切于點D，弦DF⊥AB于點E，線段CD=10，連接BD．
（1）求證：∠CDE=2∠B；
（2）若BD：AB=

3

：2，求⊙O的半徑及DF的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD，根據(jù)弦切角定理得∠CDE=∠EOD，再由同弧所對的圓心角是圓周角的2倍，可得∠CDE=2∠B；
（2）連接AD，根據(jù)三角函數(shù)，求得∠B=30°，則∠EOD=60°，推得∠C=30°，根據(jù)∠C的正切值，求出圓的半徑，再在Rt△CDE中，利用∠C的正弦值，求得DE，從而得出DF的長．

解答：（1）證明：連接OD．
∵直線CD與⊙O相切于點D，
∴OD⊥CD，∠CDO=90°，∠CDE+∠ODE=90°． （2分）
又∵DF⊥AB，∴∠DEO=∠DEC=90°．
∴∠EOD+∠ODE=90°，
∴∠CDE=∠EOD．                       （3分）
又∵∠EOD=2∠B，
∴∠CDE=2∠B．                       （4分）

（2）解：連接AD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°．                         （5分）
∵BD：AB=

3

：2，
∴在Rt△ADB中cosB=

BD

AB

=

3

2

，
∴∠B=30°．                          （6分）
∴∠AOD=2∠B=60°．
又∵∠CDO=90°，
∴∠C=30°．                          （7分）
在Rt△CDO中，CD=10，
∴OD=10tan30°=

10

3

3

，
即⊙O的半徑為

10

3

3

．                 （8分）
在Rt△CDE中，CD=10，∠C=30°，
∴DE=CDsin30°=5．                    （9分）
∵DF⊥AB于點E，
∴DE=EF=

1

2

DF．
∴DF=2DE=10．                        （10分）

點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質定理，勾股定理．