Question

（2013•惠山區(qū)一模）如圖，在銳角△ABC中，AB=6

2

，∠BAC=45°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，M、N分別是AD和AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值是

6

．

Answer 1

分析：從已知條件結(jié)合圖形認(rèn)真思考，通過(guò)角平分線性質(zhì)，垂線段最短，確定線段和的最小值．

解答：解：如圖，作BH⊥AC，垂足為H，交AD于M′點(diǎn)，過(guò)M′點(diǎn)作M′N′⊥AB，垂足為N′，
則BM′+M′N′為所求的最小值．
因?yàn)椤螧AC的平分線交BC于點(diǎn)D，
由角平分線性質(zhì)可知，M′H=M′N′，
當(dāng)BH是點(diǎn)B到直線AC的距離時(shí)（垂線段最短），
∵AB=6

2

，∠BAC=45°，
∴BH=AB•sin45°=6，
所以BM+MN的最小值是BM′+M′N′=BM′+M′H=BH=6．
故答案為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了軸對(duì)稱的應(yīng)用．易錯(cuò)易混點(diǎn)：解此題是受角平分線啟發(fā)，能夠通過(guò)構(gòu)造全等三角形，把BM+MN進(jìn)行轉(zhuǎn)化，但是轉(zhuǎn)化后沒(méi)有辦法把兩個(gè)線段的和的最小值轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離而導(dǎo)致錯(cuò)誤．規(guī)律與趨勢(shì)：構(gòu)造法是初中解題中常用的一種方法，對(duì)于最值的求解是初中考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn)．