(2006•陜西)如圖,⊙O的直徑AB=4,∠ABC=30°,BC=,D是線段BC的中點(diǎn).
(1)試判斷點(diǎn)D與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)過點(diǎn)D作DE⊥AC,垂足為點(diǎn)E,求證:直線DE是⊙O的切線.

【答案】分析:(1)要求D與⊙O的位置關(guān)系,需先求OD的長,再與其半徑相比較;若大于半徑則在圓外,等于半徑在圓上,小于半徑則在圓內(nèi);
(2)要證明直線DE是⊙O的切線只要證明∠EDO=90°即可.
解答:(1)解:點(diǎn)D在⊙O上;理由如下:
連接OD,過點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F;
設(shè)⊙O與BC交于點(diǎn)M,連接AM,
∵AB是直徑,
∴∠ADM=90°,
在直角△ABM中,BM=AB•cos∠ABC=4×=2,
∵BC=
∴M是BC的中點(diǎn),則M與D重合.
∴點(diǎn)D在⊙O上;

(2)證明:∵D是BC的中點(diǎn),O是AB的中點(diǎn),
∴DO是△ABC的中位線,
∴OD∥AC;
又∵DE⊥AC,
∴∠EDO=90°;
∴DE是⊙O的切線.
點(diǎn)評:此題主要考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及切線的判定.解題時(shí)要注意連接過切點(diǎn)的半徑是圓中的常見輔助線.
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B.y=x2+x+2
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D.y=-x2+x+2

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A.0
B.1
C.2
D.3

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(2)求證:∠MAE=∠NCF.

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(可用計(jì)算器求,也可用下列參考數(shù)據(jù)求:
sin28°≈0.4659,sin41°≈0.6561
cos28°≈0.8829,cos41°≈0.7547
tan28°≈0.5317,tan41°≈0.8693).

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