Question

如圖，把一張矩形的紙片ABCD沿對(duì)角線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE與AD交于點(diǎn)F．
（1）線段BF與DF相等嗎？請(qǐng)說明理由．
（2）若將折疊的圖形恢復(fù)原狀，點(diǎn)F與BC邊上的點(diǎn)G正好重合，連接DG，試判斷四邊形BGDF的形狀，并說明理由．
（3）若AB=4，AD=8，在（1）、（2）的條件下，求線段DG的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）BF=DF．
理由是：∵四邊形ABCD是矩形，
∴FD∥BC，
∴∠FDB=∠DBG，
由折疊不變性知，∠FBD=∠GBD，
∴∠FBD=∠FDB，
∴FB=FD；

（2）四邊形BGDF是菱形，
理由是：∵FD=FB，BG=BF，
∴FD=BG，
又∵FD∥BG，
∴四邊形BGDF是平行四邊形，
∵BG=BF，
∴四邊形BGDF是菱形；

（3）設(shè)AF=x，則BF=FD=8-x．
在Rt△ABF中，
x²+4²=（8-x）²，
解得，x=3．
則DF=8-3=5，
即DG=5．
分析：（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和折疊不變性求出兩角相等，再判斷出兩邊相等；
（2）判斷出四邊形BGDF是平行四邊形，再根據(jù)BG=BF，得出四邊形BGDF是菱形．
（3）設(shè)AF=x，則BF=FD=8-x，利用勾股定理即可求出DF的長(zhǎng)，即為DG的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題結(jié)合矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)，考查了翻折不變性，綜合性較強(qiáng)，是一道好題．