精英家教網(wǎng)如圖,Rt△ABC內(nèi)接于⊙O,AC=BC,∠BAC的平分線AD與⊙O交于點D,與BC交于點E,延長BD,與AC的延長線交于點F,連接CD,G是CD的中點,連接OG.
(1)判斷OG與CD的位置關系,寫出你的結(jié)論并證明;
(2)求證:AE=BF;
(3)若OG?DE=3(2-
2
),求⊙O的面積.
分析:(1)根據(jù)G是CD的中點,利用垂徑定理證明即可;
(2)先證明△ACE與△BCF全等,再利用全等三角形的性質(zhì)即可證明;
(3)構(gòu)造等弦的弦心距,運用相似三角形以及勾股定理進行求解.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:猜想OG⊥CD.
證明:如圖,連接OC、OD,
∵OC=OD,G是CD的中點,
∴由等腰三角形的性質(zhì),有OG⊥CD.

(2)證明:∵AB是⊙O的直徑,∴∠ACB=90°,
而∠CAE=∠CBF(同弧所對的圓周角相等),
在Rt△ACE和Rt△BCF中,
∵∠ACE=∠BCF=90°,AC=BC,∠CAE=∠CBF,
∴Rt△ACE≌Rt△BCF(ASA).
∴AE=BF.

精英家教網(wǎng)(3)解:如圖,過點O作BD的垂線,垂足為H,則H為BD的中點.
∴OH=
1
2
AD,即AD=2OH,
又∠CAD=∠BAD?CD=BD,∴OH=OG.
在Rt△BDE和Rt△ADB中,
∵∠DBE=∠DAC=∠BAD,
∴Rt△BDE∽Rt△ADB,
BD
AD
=
DE
DB
,即BD2=AD•DE.
BD2=AD•DE=2OG•DE=6(2-
2
)

又BD=FD,∴BF=2BD,
BF2=4BD2=24(2-
2
)
①,
設AC=x,則BC=x,AB=
2
x
,
∵AD是∠BAC的平分線,
∴∠FAD=∠BAD.
在Rt△ABD和Rt△AFD中,
∵∠ADB=∠ADF=90°,AD=AD,∠FAD=∠BAD,
∴Rt△ABD≌Rt△AFD(ASA).
∴AF=AB=
2
x
,BD=FD.
∴CF=AF-AC=
2
x-x=(
2
-1)x

在Rt△BCF中,由勾股定理,得
BF2=BC2+CF2=x2+[(
2
-1)x]2=2(2-
2
)x2
②,
由①、②,得2(2-
2
)x2=24(2-
2
)
,
∴x2=12,解得x=2
3
-2
3
(舍去),
AB=
2
x=
2
•2
3
=2
6
,
∴⊙O的半徑長為
6

∴S⊙O=π•(
6
2=6π.
點評:熟練運用垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì).
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(2)若sin∠BAC=
35
,DF=3,求⊙O的半徑長.

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AB
的中點,CD與AB的交點為E,則
CE
DE
等于( 。

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