如圖,Rt△ABC內(nèi)接于⊙O.將⊙O沿直徑AC對折,B點(diǎn)落在圓上D點(diǎn)處.連接BD交AC于點(diǎn)E,過C點(diǎn)作BD的平行線交AD的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若sin∠BAC=
35
,DF=3,求⊙O的半徑長.
分析:(1)欲證CF是⊙O的切線,只需證明⊥CF即可;
(2)由圓周角定理、平行線的性質(zhì)以及等量代換推知∠BAC=∠DCF;然后根據(jù)三角函數(shù)的定義、軸對稱圖形的性質(zhì)求得DC=BC=4;最后在直角三角形ABC中利用正弦三角函數(shù)的定義求得該圓的直徑AC的長度.
解答:(1)證明:∵B、D關(guān)于AC對稱,∴AC⊥BD,
又∵CF∥BD,
∴AC⊥CF,
∵點(diǎn)C在⊙O上,
∴CF是⊙O的切線;

(2)解:∵AC是⊙O的直徑,
∴∠ADC=90°(直徑所對的圓周角是直角),
∴∠CDF=90°;
又∵CF∥BD(已知),
∴∠BDC=∠DCF(兩直線平行,內(nèi)錯角相等);
∵∠BAC=∠BDC(同弧所對的圓周角相等),
∴∠BAC=∠DCF(等量代換),
∴sin∠BAC=sin∠DCF=
DF
CF
=
3
5
,
∴CF=5;
∴CD=4;
∵B、D關(guān)于AC對稱,
∴BC=CD=4,
∴sin∠BAC=
BC
AC
=
3
5

∴AC=
20
3
,
∴⊙O的半徑長=
1
2
AC=
10
3
點(diǎn)評:本題考查了切線的判定.要證某線是圓的切線,已知此線過圓上某點(diǎn),連接圓心與這點(diǎn)(即為半徑),再證垂直即可.
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AB
的中點(diǎn),CD與AB的交點(diǎn)為E,則
CE
DE
等于(  )

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