Question

【題目】如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+9﹣b2（b為常數(shù)）經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與x軸交于另一點(diǎn)E．其頂點(diǎn)M在第一象限．

（1）求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)A是該拋物線上位于x軸上方，且在其對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線交該拋物線于另一點(diǎn)D，再作AB⊥x軸于點(diǎn)B，DC⊥x軸于點(diǎn)C．
①當(dāng)線段AB、BC的長(zhǎng)都是整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，求矩形ABCD的周長(zhǎng)；
②求矩形ABCD的周長(zhǎng)的最大值，并寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；
③當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，它的面積是否也同時(shí)取得最大值？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意，代入原點(diǎn)到二次函數(shù)解析式

則9﹣b2=0，

解得b=±3，

由題意拋物線的對(duì)稱(chēng)軸大于0，

，

所以b=3，

所以解析式為y=﹣x2+3x

（2）

解：設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則 ＞m＞0，

AB=3m﹣m2，BC=2（ ﹣m）=3﹣2m，

∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=2（AB+BC）=2（﹣m2+m+3）=﹣2m2+2m+6．

①當(dāng)線段AB、BC的長(zhǎng)都是整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，則

3m﹣m2＞0且為整數(shù)，3﹣2m＞0且為整數(shù)，

∴m=1．

∴矩形ABCD的周長(zhǎng)=﹣2m2+2m+6=6；

②∵矩形ABCD的周長(zhǎng)=﹣2m2+2m+6=﹣2（m2﹣m）+6=﹣2（m2﹣m+ ﹣ ）+6=﹣2（m﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)m= 時(shí)，有最大值= ，

將m= 代入y=﹣x2+3x得y= ，即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)，

此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（ ， ）；

③當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，m= ，

此時(shí)矩形ABCD的面積=ABBC=（3m﹣m2）（3﹣2m）= ，不是最大值．

∵當(dāng)m= 時(shí)，矩形ABCD的面積=（3m﹣m2）（3﹣2m）=1.6875×1.5=2.53125＞ ．

∴當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，它的面積不能同時(shí)取得最大值

【解析】（1）已知拋物線過(guò)原點(diǎn)，代入求得b值而求出二次函數(shù)解析式；（2）設(shè)A點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，則 ＞m＞0，AB=3m﹣m2 ， BC=3﹣2m，矩形ABCD的周長(zhǎng)=﹣2m2+2m+6．①根據(jù)線段AB、BC的長(zhǎng)都是整數(shù)個(gè)單位長(zhǎng)度及 ＞m＞0，確定m的值，從而求出矩形ABCD的周長(zhǎng)；②將﹣2m2+2m+6配方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，得出矩形ABCD的周長(zhǎng)的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)；③將矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)的m的值代入它的面積表達(dá)式ABBC=（3m﹣m2）（3﹣2m）中，計(jì)算出其值為2.5，然后在 ＞m＞0的范圍內(nèi)找到一個(gè)m= 時(shí)，矩形ABCD的面積=2.53125＞ ，從而得到當(dāng)矩形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值時(shí)，它的面積不能同時(shí)取得最大值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)．