Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx經(jīng)過B（8、0），C（6、2

3

）兩點(diǎn)，點(diǎn)A是點(diǎn)C關(guān)于拋物線y=ax²+bx的對稱軸的對稱點(diǎn)，連接OA、AC、BC

（1）求拋物線的解析式．
（2）動點(diǎn)E從點(diǎn)O出發(fā)，速度為3個單位/秒，沿O→A→C勻速運(yùn)動：動點(diǎn)F從點(diǎn)O出發(fā)，速度為4個單位/秒，沿O→B勻速運(yùn)動，動點(diǎn)E、F同時(shí)出發(fā)，若設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒（0≤t≤2），△OEF的面積為S，請求出運(yùn)動過程中S與t的關(guān)系式．
（3）設(shè)P是拋物線對稱軸上的一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使以O(shè)、E、F、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若不存在，請說明理由；若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

（1）把點(diǎn)B（8、0），C（6、2

3

）代入拋物線y=ax²+bx，得

64a+8b=0 36a+6b=2 3

，
解得

a=- 3 6 b= 4 3 3

∴拋物線y=-

3

6

x²+

4

3

3

x；

（2）拋物線y=-

3

6

x²+

4

3

3

x的對稱軸為x=4，
∴A（2，2

3

）
∴OA=4，AC=4，∠AOB=60°
當(dāng)0≤t≤

4

3

時(shí)，
S_△EOF=

1

2

×OF×OE×sin60°
=

1

2

×4t×3t×

3

2

=3

3

t²；
當(dāng)

4

3

≤t≤2時(shí)
S_△EOF=

1

2

×OF×2

3

=

1

2

×4t×2

3

=4

3

t；

（3）存在，如圖

y_OE=

3

x，設(shè)P（4，y）則y=

3

（x-4t）
OE=PF，由（2）得3t=2（4-4t）
解得t=

8

11

，則y=

3

（x-4t）=

12 3

11

，
點(diǎn)P為（4，

12 3

11

）
如圖可知3t=2（4t-4）
解得t=

8

5

，
則y=

3

（x-4t）=-

12

5

3

，
點(diǎn)P為（4，-

12

5

3

）．

綜上所知點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（4，

12 3

11

）、（4，-

12

5

3

）．