Question

（2012•金灣區(qū)一模）已知拋物線y=x²+kx-

3

4

k²（k為常數(shù)，且k＞0）．
（1）證明：此拋物線與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）設(shè)拋物線與x軸交于M（x₁，0），N（x₂，0）兩點(diǎn)，且

1

x1

+

1

x2

=

2

3

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程x²+kx-

3

4

k²=0的根的判別式的符號(hào)來(lái)判定此拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于k的方程，通過(guò)解方程即可求得k的值．

解答：（1）令y=0，則x²+kx-

3

4

k²=0，
所以△=k²-4×1×（-

3

4

）=k²+3．
因?yàn)閗²是非負(fù)數(shù)，所以無(wú)論k取何值，k²+3總是大于零，即k²+3＞0，
所以，關(guān)于x的一元二次方程x²+kx-

3

4

k²=0總有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即拋物線y=x²+kx-

3

4

k²（k為常數(shù)，且k＞0）．與x軸總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）根據(jù)題意，知
x₁+x₂=-k，x₁•x₂=-

3

4

k²，
則

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1•x2

=

-k

- 3 4 k2

=

2

3

，即

4

3k

=

2

3

，
解得，k=2，即k的值是2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關(guān)系．
△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
△=b²-4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；
△=b²-4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．