Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點M在第一象限，拋物線與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交與點C，O為坐標原點，如果△ABM是直角三角形，AB=2，OM=

5

．
（1）求點M的坐標；
（2）求拋物線y=ax²+bx+c的解析式；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△PAC為直角三角形？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）

∵點M為拋物線的頂點，
∴MA=MB，
又∵△ABM是直角三角形，
∴△AMB是等腰直角三角形，
∵AB=2，
∴ME=1，
在Rt△OME中，可得OE=

OM2-ME2

=2，
故可得點M的坐標為（2，1）．
（2）∵AE=BE=

1

2

AB=1，OE=2，
∴OA=1，OB=3，
∴點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（3，0），
將點A、B、M的坐標代入拋物線解析式可得：

a+b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=1

，
解得：

a=-1 b=4 c=-3

，
故拋物線的解析式為：y=-x²+4x-3．
（3）設點P的坐標為（2，y），
則AC²=10，AP²=1+y²，CP²=4+（y+3）²，
①當∠PAC=90°時，AC²+AP²=CP²，即10+1+y²=4+（y+3）²，
解得：y=-

1

3

，
即此時點P的坐標為（2，-

1

3

）；
②當∠PCA=90°時，AC²+CP²=AP²，即10+4+（y+3）²=1+y²，
解得：y=-

11

3

，
即此時點P的坐標為（2，-

11

3

）；
③當∠APC=90°時，AP²+CP²=AC²，即1+y²+4+（y+3）²=10，
解得：y=-1或-2，
即此時點P的坐標為（2，-1）或（2，-2）；
綜上可得點P的坐標為（2，-

1

3

）或（2，-

11

3

）或（2，-1）或（2，-2）．