Question

如圖，直線與軸、軸分別交于A、B兩點，動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個長度單位的速度向原點O運動． 動直線EF從軸開始以每秒1個長度單位的速度向上平行移動（即EF∥軸），并且分別與軸、線段AB交于E、F點．連結(jié)FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒．

（1）當(dāng)t＝1秒時，求梯形OPFE的面積；
（2）t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？
（3）設(shè)t的值分別取t₁、t₂時(t₁≠t₂)，所對應(yīng)的三角形分別為△AF₁P₁和△AF₂P₂．試判斷這兩個三角形是否相似，請證明你的判斷．

Answer 1

（1）18；（2）50；（3）相似

試題分析：（1）先根據(jù)直線的性質(zhì)求出A、B兩點的坐標(biāo)，再根據(jù)點A的移動規(guī)律，得到AP的長，從而求出OP的長；又因為EF=BE，用OB的長減去OE的長即可求出EF的長；從而利用梯形面積公式求出梯形OPFE面積；
（2）設(shè)OE=t，AP=3t，利用梯形面積公式，將梯形面積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次函數(shù)表達式，求二次函數(shù)的最大值即可；
（3）作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形．求出三角形各邊的長度表達式，計算出對應(yīng)邊的比值，加上一個夾角相等，即可得到結(jié)果.
設(shè)梯形OPFE的面積為S.
(1) A(20，0)，B(0，20)
∴OA=OB=20，∠A=∠B=45°
當(dāng)t=1時，OE=1，AP=3
∴OP=17，EF=BE=19
∴S=(OP+EF)·OE=18；
(2) OE=t，AP=3t
∴OP=20-3t，EF=BE=20-t
∴S=(OP+EF)·OE=(20-3t +20-t)·t=-2t²+20t=-2(t-5)²+50
∴當(dāng)t="5" (在0<t<范圍內(nèi))時，S_最大值=50；
(3) 作FD⊥x軸于D，則四邊形OEFD為矩形

∴FD=OE=t，AF=FD=t，又AP=3t
當(dāng)t=t₁時，AF₁=t₁，AP₁=3t₁
當(dāng)t=t₂時，AF₂=t₂，AP₂=3t₂
∴，又∠A=∠A
∴△AF₁P₁∽△AF₂P₂.
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟記求二次函數(shù)的最大（小）值有三種方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法，常用的是后兩種方法．