Question

如圖，在等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC為直徑作圓O，與BC交于點E，過點E作ED⊥AB，垂足為點D，
（1）求證：DE為⊙O的切線；
（2）過O點作EC的垂線，垂足為H，求證：EH•BE=BD•CO．

Answer 1

分析：（1）連接OE，根據(jù)等邊對等角，由AB=AC得到∠B=∠C，再由半徑OC與OE相等得到∠C=∠CEO，利用等量代換得到∠B=∠CEO，由同位角相等兩直線平行，得到AB與EO平行，再根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等，由角BDE為直角得到角DEO為直角，又OE為圓O的半徑，根據(jù)切線的判斷方法得到DE為⊙O的切線；
（2）根據(jù)垂徑定理，由OH與BC垂直，得到H為EC中點即CH與EH相等，然后由兩對角相等的兩三角形相似得到△BDE∽△CHO，得到對應(yīng)邊成比例，把CH換為EH即可得證．

解答：（1）證明：連接OE，∵AB=AC，∴∠B=∠C（1分）
∵OC=OE，∴∠C=∠CEO，（1分）
∴∠B=∠CEO，∴AB∥EO，（1分）
∵DE⊥AB，∴EO⊥DE，（1分）
∵EO是圓O的半徑，
∴D為⊙O的切線．（1分）

（2）解：∵OH⊥BC，∴EH=HC，∠OHC=90°（1分）
∵∠B=∠C，∠BDE=∠CHO=90°
∴△BDE∽△CHO（2分），
∴

BD

CH

=

BE

CO

（1分）
∵EH=HC，
∴EH•BE=BD•CO．（1分）

點評：本題考查切線的性質(zhì)和判定、垂徑定理及相似三角形的性質(zhì)與判定的綜合運用．證明切線的方法有兩種：有連接圓心與這點，證明夾角為直角；無點作垂線，證明垂線段長等于半徑．