Question

如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，有一條拋物線y=ax²+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3）．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式；
（2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到A、C兩點距離之和最�。咳舸嬖�，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），
∴，
解得：，
∴二次函數(shù)y=ax²+bx+c的解析式為：y=x²-2x-3；

（2）存在．
令y=0，即x²-2x-3=0，
解得：x=3或x=-1，
∴點A（-1，0），
∵點A與B關(guān)于x=1對稱，
∴連接BC，則直線BC與直線x=1的交點即為P點，
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直線BC的解析式為y=x-3，
當(dāng)x=1時，y=1-3=-2，
∴點P的坐標(biāo)為（1，-2）．
分析：（1）由拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3），即可利用待定系數(shù)法求得二次函數(shù)的解析式；
（2）首先由A與B對稱，連接BC即可確定點P的坐標(biāo)，然后求得直線BC的解析式，求與x=1的交點即可求得答案．
點評：此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式與兩點間距離最短的問題．此題難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．