Question

應(yīng)用規(guī)律，解決問題
（1）．定義：a為不等于1的有理數(shù)，我們把

1

1-a

稱為a的差倒數(shù)，如：2的差倒數(shù)是

1

1-2

=

1

-1

=-1，-1的差倒數(shù)是

1

1-(-1)

=

1

2

，已知a1=-

1

3

，
①a₂是a₁的差倒數(shù)，則a₂=

3

4

．
②a₃是a₂的差倒數(shù)，則a₃=

4

．
③a₄是a₃的差倒數(shù)，則a₄=

-

1

3

．
④以此類推，a₂₀₁₁=

-

1

3

．
（2）．我們知道：

1

2

×

2

3

=

1

3

，

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，…，

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

，試根據(jù)上面規(guī)律，
計算：(

1

19

-1)(

1

20

-1)(

1

21

-1)…(

1

2011

-1)．

Answer 1

分析：（1）理解差倒數(shù)的概念，要根據(jù)定義去做．通過計算，尋找差倒數(shù)出現(xiàn)的規(guī)律，依據(jù)規(guī)律解答即可．
（2）利用

1

2

×

2

3

=

1

3

，

1

2

×

2

3

×

3

4

=

1

4

，…，

1

2

×

2

3

×

3

4

×…×

n

n+1

=

1

n+1

規(guī)律得出答案即可．

解答：解：（1）根據(jù)差倒數(shù)定義可得：①a2=

1

1-a1

=

1

1+ 1 3

=

3

4

，
②a3=

1

1-a2

=

1

1- 3 4

=4，
③a4=

1

1-a3

=

1

1-4

=-

1

3

．
④顯然每三個循環(huán)一次，又2011÷3=670余1，故a₂₀₁₁和a₁的值相等，
∴a₂₀₁₁=-

1

3

，
（2）(

1

19

-1)(

1

20

-1)(

1

21

-1)…(

1

2011

-1)．
=-

18

19

×（-

19

20

）×（-

20

21

）…（-

2010

2011

），
=-

18

2011

．
故答案為：①

3

4

，4，③-

1

3

，④

3

4

，

點評：此題主要考查了數(shù)字規(guī)律，此類題型要嚴(yán)格根據(jù)定義做，這也是近幾年出現(xiàn)的新類型題之一，同時注意分析循環(huán)的規(guī)律．