Question

△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是射線上BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合，△ADE是以AD為邊的等邊三角形，過點(diǎn)E作BC的平行線，分別交射線AB，AC于點(diǎn)F，G，連接BE．
（1）如圖1所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)：①求證：△AEB≌△ADC；②探究四邊形BCGE是哪種特殊的四邊形，并說明理由．
（2）探究四邊形BCGE是哪種特殊的四邊形，并說明理由．如圖2所示，當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長線上時(shí)，直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否成立．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，然后求出∠BAE=∠CAD，再利用“邊角邊”證明△AEB和△ADC全等；根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ABE=∠C=60°，再求出∠CBE+∠C=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行判斷出BE∥CG，然后根據(jù)兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形解答；
（2）根據(jù)（1）的思路解答即可．

解答：（1）①證明：∵△ABC，△ADE是等邊三角形，
∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，
∴∠BAC-∠BAD=∠EAD-∠BAD，
即∠BAE=∠CAD，
∵在△AEB和△ADC中，

AB=AC ∠BAE=∠CAD AE=AD

，
∴△AEB≌△ADC（SAS）；

②四邊形BCGE是平行四邊形．理由如下：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°，
∴∠CBE+∠C=∠ABE+∠ABC+∠C=∠C+∠ABC+∠C=60°+60°+60°=180°，
∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形；

（2）①②都成立．
①的證明與（1）中相同，
②的證明如下：
∵△AEB≌△ADC，
∴∠AEB=∠ADC，
∵BD∥FG，
∴∠BDE=∠DEG，
∴∠AEB+∠DEG=∠ADC+∠BDE=∠ADE=60°，
∴∠BEG+∠G=（∠AEB+∠DEG）+∠AED+∠G=60°+60°+60°=180°，
∴BE∥CG，
又∵EG∥BC，
∴四邊形BCGE是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，綜合性較強(qiáng)，難度較大，求出三角形全等是解題的關(guān)鍵．