Question

（2011•黔東南州）順次連接一矩形場地ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點E、F、G、H，得到四邊形EFGH，M為邊EH的中點，點P為小明在對角線EG上走動的位置，若AB=10米，BC=10

3

米，當PM+PH的和為最小值時，EP的長為

10 3

3

m

．

Answer 1

分析：由點E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，得到FH與EG互相垂直平分，則四邊形EFGH為菱形，H點與F點關于EG對稱，連HF交EG于O點，連FM交EG于P′、連HP′，則P′H=P′F，即P′H+P′M=FM，根據(jù)兩點之間線段最短得到當動點P運動到點P′的位置時，PM+PH的和為最小值．由AB=10，BC=10

3

得AE=5，AH=5

3

，根據(jù)勾股定理計算出EH=10，則EM=5，∠AHE=30°，∠EHF=60°，得到△EHF為等邊三角形，于是有FM⊥EH，根據(jù)含30°的直角三角形三邊的關系得到MP′=

3

3

EM=

5 3

3

，EP′=2MP′=

10 3

3

，由此得到答案．

解答：解：∵點E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，
∴FH與EG互相垂直平分，
∴四邊形EFGH為菱形，H點與F點關于EG對稱，
連HF交EG于O點，連FM交EG于P′、連HP′，如圖，
則P′H=P′F，即P′H+P′M=FM，
∴當動點P運動到點P′的位置時，PM+PH的和為最小值．
∵AB=10，BC=10

3

，
∴AE=5，AH=5

3

，
∴EH=

(5 3 )2+52

=10，
∴∠AHE=30°，
∴∠EHF=60°，
∴△EHF為等邊三角形，
而M為EH的中點，
∴FM⊥EH，EM=5，
在Rt△EMP′中，∠MEP′=30°，
∴MP′=

3

3

EM=

5 3

3

，
∴EP′=2MP′=

10 3

3

，
∴當PM+PH的和為最小值時，EP的長為

10 3

3

m．
故答案為

10 3

3

m．

點評：本題考查了軸對稱-最短路線問題：通過對稱，把兩條線段的和轉化為一條線段，利用兩點之間線段最短解決．也考查了含30°的直角三角形三邊的關系、菱形得性質與判定以及矩形的性質．