Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C為AB延長線上的一點(diǎn)，CD交⊙O于點(diǎn)D，且∠A=∠C=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）請直接寫出圖中某3條線段之間的等量關(guān)系式，只要寫出3個．（添加的輔助線不能用）

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，由AB為圓O的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠ADB為直角，再由∠A為30°，利用三角形的內(nèi)角和定理求出∠OBD為60°，再由OD=OB，得到三角形OBD為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到內(nèi)角∠ODB為60°，又∠OBD為三角形BDC的外角，利用外角的性質(zhì)得到∠BDC=∠OBD-∠C，求出∠BDC為30°，進(jìn)而確定出∠ODC為直角，即DC垂直于OD，可得出CD為圓O的切線，得證；
（2）由O為AB的中點(diǎn)得到OA=OB，再由三角形ODB為等邊三角形可得出DB=OB，在直角三角形OCD中，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出OD為OC的一半，即OB為OC的一半，即B為OC中點(diǎn)，可得出BC=OB，即可得到OA=OB=BC=BD，找出其中的三條線段相等即可．
解答：解：（1）連接OD，如圖所示：
∵AB是直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠A=30°，
∴∠ABD=60°，又OD=OB，
∴△OBD為等邊三角形，
∴∠ODB=60°，
∵∠ABD為△DBC的外角，
∴∠ABD=∠C+∠BDC，又∠C=30°，
∴∠BDC=∠ABD-∠C=30°，
∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°，
∴OD⊥DC，
則CD是⊙O的切線；
                                   
（2）AO=OB=BC或DB=OB=BC或OA=DB=BC．
點(diǎn)評：此題考查了切線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外角性質(zhì)，證明切線的方法有兩種：有點(diǎn)連接證明垂直；無點(diǎn)作垂線，證明垂線段等于圓的半徑，本題利用的是第一種方法．